計算數學入門系列 - 數值表示方式（一）

在這一系列的文章裏面，我會嘗試簡單介紹一下在電腦裏面關於計算數學的一些不同問題，希望可以簡單的講一下如何入門。如果同學對計算數學有興趣，這系列的討論希望可以幫助到同學將來的學習和研究。 由於是比較專門的「入門」，所以這一個系列的文章可能需要同學對數學有多一點的基礎認識。當然我也會盡可能把問題說得簡單一點，不希望把很多同學都嚇跑。

作為入門的第一篇，應該要講一下計算數學的「起手式」。 所謂起手式，就是入門裏面的第一樣需要知道的知識。通常在大學應用數學課程裏面，第一門需要學習的就是「數值方法」。這門學科，就是講解如何運用計算機（真的是一部手提的計算機）或者電腦去幫我們解決一些在數學裏面的問題。這些問題的答案都會是數字。比如說，我們要電腦幫我們找f(x)=0 的解。在課程的第二章就會深入淺出有不同的方法去找出這個函數的根，然後再做一點分析，讓我們知道在什麼情況之下那一個方法可以更快的可以把答案找出來。如果我們要解決的問題，所需要的並不是一個數值的答案，而是一些更加像是人類解決代數問題的方法，那些符號計算（Symbolic Computation）的問題都不會在這個數值方法的課程裏面學得到。

等一下，上面提到的問題，是在數值方法的第二章，那麼第一章是什麼呢？ 通常這一章同學都不會花太多時間留意，很多時候都不知道學習這一張內容的用處。當然其中一個原因是學期剛開始，同學還在挑選自己喜歡的課程，學期的第一二個星期，心情還沒有定下來，根本沒有留心我們講解這章的目的。講到這裏，以往有修讀過數值方法的同學可能還沒有把這一章節的內容回想起來。對，起手式就是說數字在電腦裏面是如何表達。我想大部份同學都知道，電腦是運用二進制去表示數字。所以對所有的正整數 （positive integers）來說，數值表示方式在中學時候可能已經有所接觸。問題是，那其他的數字呢？在大學數學課程裏面，我們學習到實數（Real Number） 有不可數那麼多（Uncountable Many）， 電腦如何可以有一個方法去表示這些實數呢？ 答案是，不可能。要知道電腦裏面我們只有有限的儲存空間，我們根本沒有辦法把不可數的那麼多數字全都放到電腦裏面去。所以我們就必須要有所挑選，要想像如何用有限的資源代表着大部份的數字。 這一章節聽起來好像真的沒有什麼用，對於現今的計算機或者電腦來說，怎麼可能有數字不可能被準確表示！不但如此，很有可能一些加減乘除數電腦還是會計算錯誤的。