數學教授的日常生活

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什麼是數學（五）

一個研究學者可以在不同的研究範疇遊走的例子並不罕見。我們數學系內也有不少教授博士學位並不是由數學系取得，有物理系的或者土木工程的。可是我們並不應該，也沒有辦法根據他博士學位去定義他是否一個數學家。我們科大上一任校長陳繁昌教授就是一個很好的例子。他的博士是史丹福大學的計算機科學學位，後來到了UCLA的數學系成為教授。他做的研究是線性問題的數值方法和圖像處理問題。這些都是計算數學裏面非常重要的中心問題。在科大當校長的時候，他就同時是數學系及計算機科學系的教授。有些他做的問題都是運用數學的工具解決一些應用問題，有些時候他做的研究方向就是一個計算機科學的問題。我們數學系現任系主任，所念的博士學位是天文學的，現在就同一時間是數學系和機械及航空航天工程學系（Mechanical and Aerospace Engineering）的講座教授（Chair Professor）。他做的問題是計算流體力學，他有的研究是設計一些計算方法解決流體力學的方程式（這部份就是數學系所做的研究），另外一些研究希望把這些計算方法應用到真實的飛行工具上面（這些就是工程方面的研究）。如果我們需要仔細看他研究方法才能定義他所做的是否數學，去決定他是否一個數學家，實際執行上也非常困難。始終所謂研究，就是去發掘一些其他人沒有想過沒有做過的問題。要清晰地把其他人所做的研究（甚至只是研究方法）搞明白，有需要花很多時間。有些聽起來好像有一點道理的方法，但仔想來也不太有用。有些人會提議，如果看一下他研究成果投到那一些研究期刊，從期刊的類型我們也可能可以猜想一下他做的問題是否數學問題，用的是否應用數學研究的方法，從而決定他是否一個數學家。其實每個研究範疇，都有一些專門的研究期刊。有幾個期刊我自己比較想投稿，例如SIAM Journal on Scientific Computing (SISC), Journal of Computational Physics (JCP) 和 Journal of Scientific Computing (JSC)。題目裏面可能都只會知道和計算有關。如果看見JCP 就說他是一份物理的期刊，而不清楚他其實是計算數學裏面一份高水平的雜誌，這就有點不公平了。研究期刊就跟研究範疇差不多，同一個題目其實也可以有不同的研究人員在上面發表文章。以JCP 為例，如果投稿的文章

什麼是數學（四）

上面所說的，雖然只是我在一門本科生課程內的想法，在研究上面，這套包容性最廣泛的定義還是有一點點不適用。很多時候有些教授做的研究題目聽起來非常「應用」，好像對日常生活非常重要（我這裏不是說他毫無用處）。可是研究的方法，他中心的工具，並不太應該歸納到應用數學。舉一個例子，自己有一個研究課題，是希望解決一些反問題。通過高頻波由起點到終點的所需時間，問題希望找出聲音在不同地方的速度。根據這些不同地方的速度，我們就可以知道媒介的結構。實質應用可能是石油探索，又或者是地質結構的研究。如果只聽見這個「應用」，絕對可以定義這個是一個「應用數學」的問題。自己所研究的課題，是希望找出一個計算辦法，容許我們有一個快速而有效的方法，把這個速度場找出來。可是同一個問題，在我們數學系卻有一位純數學家運用微分幾何的方法嘗試證明這個反問題是否存在一個解，而如果答案是正面的，這個解答是否唯一的呢？這些都是純數學家想問的問題。上面提到的圖像處理問題，不單在數學係有一個本科生的課程，在計算機科學和電子工程學系各有一個有一個相關的課程。如果我們只聽見「圖像處理」，就把它歸納到「應用數學」，這樣我們是否會把不同的工程也一併歸納入「應用數學」？另外一個例子，密碼學在日常生活有着大量的應用，聽起來就像是一門「應用數學」。但是，從訊息傳送到訊息修正，裏面應用到大量數論的理論，那他是「純數學」還是「應用數學」？我們說密碼學是「純數學」，是由於他所運用的技巧都是在數論裏面的知識。我們說密碼學是「應用數學」，是由於研究人員運用數論裏面的定理，解決了日常生活裏面的一些問題。所以我們去分辨不同種類的數學，並不應該從「研究題目」或者「研究方向」本身決定，而是應該要多看一下研究裏面所問的中心問題，和解決這個問題時所運用的技巧。這個學期也教了一門研究生課程，內容是設計數值方法解決偏微分方程問題。在第一節課以前，看見報名同學來自不同學系，當然有數學系的同學，但是也有不同的工程學系的研究生。可能是土木工程，也可能是機械工程。而且裏面亦有一些是來自環境科學的跨學科課程的研究生。由於他們自己本身的研究，有需要依賴一些偏微分方程的計算，所以他們對這門課還是有一點點興趣。可以想像，在他們畢業論文裏面，應該都會有一些運用電腦解決數學方程式的研究結果。雖然這樣，但是我還是暫時不會把他們歸納入「應用數學」的研究學者。以我看來，暫時他們所看重的

什麼是數學（三）

這個定義其實有一點問題。有一些同學會覺得，「哦這樣子，我可以找一些數據來研究。比如說看看股票走勢，運用統計的方法看看是否能找出一點規律。」他們都會嘗試用一些統計上的工具做Regression和不同的Hypothesis Testing。由於問題本身，是一個日常生活應用的例子，而且裏面亦都看見一些數字，他們就會覺得這樣就可以了。可是，我就會覺得這樣子就太像一個統計學系的Capstone，這樣就違背了我們把不同背景的同學分開做Capstone的原意。同樣的項目，如果同學運用的是另外一些工具，我還是容許同學設計一些方法去「炒股票」。譬如說以往也有一些同學運用大數據工具，使用人工智能等等的技術去看看股票的走勢。這些工具，在我們應用數學的Capstone裏面我還是非常鼓勵的。同學可以嘗試一下這些新技術，如果同學對這些新知識有興趣，可能也會對他們畢業後的工作有一點的幫助。而且，同學們並不可以直接把以往的數據放到軟件內，更重要的，他們還要仔細探討這些技術是否能真的增加股票投資的回報。這個要求就跟一般數據科學的研究項目有所不同。我們着重的並不是（不只是）工具是否能夠應用到這個項目上，還要求同學作出一個小心的研究，看一下這個方法是否有它的好處和對實質應用有所幫助。這其實就是一個「數學建模」的過程，這樣就符合了我們所期待的「應用數學」了。另外一個例子，我們也容許同學運用一些隨機的方法去估算一些應用問題的答案。譬如說同學們嘗試設計遊戲的策略，因應着遊戲內一些隨機的變化，我們會建議同學使用一些譬如Monte Carlo的計算，去比較不同策略對遊戲結果的影響。雖然這些聽起來都比較像是統計學內一些概率的計算，但是這也是在「計算數學」裏面的一些計算方法。譬如說在分子動力學（Molecular Dynamic Simulations）裏面，我會嘗試模擬粒子的運動，去解釋不同的物理，化學或者是生物學上面的現象。例如看看粒子如何因着能量不同而隨機運動，看看如何定義液態和固態。又可以看看化學反應如何產生，看看DNA是如何因着催化劑而自我複製等等。所以，同學們如果可以掌握這套技術，也可以幫助他們理解在日常生活上遇到種種的隨機現象。

什麼是數學（二）

同樣的例子，在其他研究範疇也是常出現。就講一個跟物理學相關的例子。最近我們跟恆隆地產所合辦的恆隆數學獎正在設計一個新的獎座。其中用到一個黑洞的設計。裏面提到一個數學的概念，把一些聽起來好像非常物理的理論，跟數學連繫起來。我們希望把一些「非傳統」的數學概念介紹給一些對數學非常有熱誠的同學。我們找來粒子物理學家，科大高等研究院院長，代理理學院院長Prof. Andrew Cohen寫了一段英文的介紹，再交給一位在物理系研究宇宙學的學者作中文翻譯。他們兩個就對這套理論有着不同的理解。雖然很困難，但是在很多行政工作上，如果我們沒有對一個研究範疇有一些比較仔細的定義，有時也很難具體執行某些政策。例如每個學系在招聘新教授時，也會希望新同事可以幫助學系在某個範疇的發展。可能是一些學系本身欠缺的研究方向，也可能是希望找一些年輕的教授發展一些熱門的研究課題。如果我們沒法確定我個學者所研究的範疇，我們很難可以請到一個我們希望聘請的教授。最簡單解釋什麼是「應用數學」的方法，就是採取一個包容性最強的定義。有些時候，我會把所有有一點「數學」但並不是他們心中所想的「純數學」的東西，都放到「應用數學」這個範疇裏面。就好像上面的例子，一些同事們也會把所有非「純數學」的東西都撥歸「應用數學」。這幾年都幫忙帶領同學做他們在應用數學範疇內的Capstone Projects，就是用一個學期時間做一個應用數學的項目。在第一節課，我都會跟他們說，我不會理會他們以往修讀過什麼數學的課程，可是在他們的項目內，我們會看看他可以展示了他們多少應用數學或計算數學相關的技巧。我都會讓同學們自己決定題目，然後看看他們的方向給予相關的意見。同學們對「應用數學」或者是「計算數學」的定義也都會比較疑惑。最常聽見的問題，就是問這樣這樣是否可以，這樣這樣是否屬於應用數學。對於如何定義「應用數學」或者是「計算數學」，我都沒有給予一個固定的答案。我都會採用一個非常廣闊的定義。只要他們的項目裏面，有「應用」一些「數學」去解決或者去研究一個問題，我都一律接受。所以很多時候，同學們都會選取一些看起來比較簡單的題目，好像是一些遊戲策略的研究或者是一些概率計算的問題。自己覺得，如果同學們可以選取一個他們有興趣的方向入手，無論結果如何，他們都會覺得「應用數學」這個學科對他們還是有一點點關係。這樣，同學們也會對數學系整個課程設計的印象都會有正面

什麼是數學（一）

有一個可能是最重要的題目，到現在還沒有提及。寫了這麼久，到底什麼是「數學」？什麼是「純數學」？什麼是「應用數學」？到底如何定義一個研究範疇是否屬於數學或者是數學裏面那一個研究題目呢？上一個月，學系舉辦了一個介紹會，介紹一下如何申請研究生課程，有什麼要注意的地方，同學如何準備自己，可以令到自己有更大機會被一些研究生課程取錄。我負責的其中一個部份，是需要解釋一下如何做應用數學方面的研究。看了一下節目程序，有另外一位做純數學研究的同事負責講解如何做純數學研究的部份。那我們學系裏面統計方面的研究，數據科學的研究，金融數學方面的研究等等呢？又好像沒有其他學系裏面的教授來介紹一下他們的研究方向。所以我猜想，節目安排時，其實是希望我講解一下「非純數學的研究」而並不是真的講「應用數學的研究」。所以這就非常困難了，我首先必須要指出何謂「數學」，再講一下如何定義「純數學」，那樣，剩下來的部份就應該其實是節目希望我介紹的東西。把所有非「純數學」的部份都放在「應用數學」雖然不盡錯誤，但只是好像不太準確。但有疑惑的地方是在哪裏呢？自己又好像沒有很清楚的馬上可以說出來。所以希望趁這個機會盡量整理一下自己的想法，看看有沒有辦法從以往自己的經歷裏面找出一個自己覺得合理的定義。不單是困難，這也是一個非常危險的題目。因為無論我如何努力解釋，可能還是沒有辦法取得所有數學界同事的認同。我就從來沒有看過那個地方會有一門叫做「什麼是數學」的課程。始終每個人對數學的理解有點不一樣。我所認識的數學，和你看見的可能也有不同。所以如果我們希望對一些研究範疇作出仔細的定義，很有可能就會招來不必要的爭論。我們說，「你並不是在研究這個範疇」，他就說，「我是這個範疇的專家」。當然每個人對自己研究範疇的理解都可能和其他人不一樣。我們介紹微積分，提及牛頓，介紹距離，速度，加速率等等的概念，同學就會覺得這其實是物理的問題。教授微分方程，提及鐘擺的數學模型，同學又會覺得這個是物理的理論，跟數學無關。教圖像處理，同學又會覺得是計算機科學的東西，不應該在數學系有課程教授。但作為一個數學家，無論看見問題是如何包裝，我們其實還是可以用自己的眼睛，看到範疇裏面自己喜愛的部份，把它當成一個數學問題。自己有一些研究也是嘗試解決量子物理學裏面的方程式。當然方程式本身有很多粒子物理上邊的應用，但是在我眼內，其實都是一個偏微分方程的計算問

Senior Year 招生（三）

你可能會說，等一下，這些SY同學已經在社區學院花了兩年時間，然後你跟我說當他們入了科大，還要跟JUPAS的同學一樣去選擇主修。那不就是說他們要在科大另外四年的時間？這個問題其實跟一些SY同學以前的另外一個疑惑有關。當SY同學收到我們取錄通知時，他們見到的是我們科大的一個叫做Year2的取錄通知。很多同學會覺得由於我收到的是一個Year2Offer，那就是說我需要在科大多留三年的時間才可以畢業。所以他們會覺得我們科大的安排對他們來說有點蝕底。其實我們科大使用學分制，就是說，同學到畢業前只需要收到足夠的學分，滿足主修畢業條件其實就已經可以畢業了。自己以往也見到一些重JUPAS進入科大的同學，由於學費關係，把自己每個學期的時間表填滿，最終也可以三年畢業。而這些SY進入科大的同學，他們在社區學院時所修讀的學分，也可以用來滿足科大的學分條件。如果同學在社區學院修讀過一個跟我們科大有關的學科，同學們可以在進入科大是申請學分轉移，這樣儘管我們給了他們一個第一年（如果同學選取新安排的SCIE-A或者SCIE-B）或者第二年（就是比如說科學數據分析這個主修）的取錄通知，同學們其實是不需要一定在科大留足四年或者三年的。同學們可以根據學分轉移安排或者自己的讀書計劃，去安排自己留在科大的時間。如果同學們拿到我們一個第二年的取錄通知，也見過不少同學只需要留在科大另外兩年時間就已經可以畢業。當然，也有同學會在科大留三年，多加享受大學的設施和環境，也可能去一下外地交流，又或者是放輕鬆一點，每個學期做一下實習。這些經驗對同學長遠發展還是很重要的。每一個講座，除了我自己的演講以外，我們還會找來一位在那個社區學院畢業然後加入科大的同學作一個分享。從這些分享裏面，我都可以聽到很多不同的成功故事。所以除了我自己有教導過的研究碩士學生之外，仍然有其他成功的例子可以分享給同學知道。當然有一些希望快一點從大學畢業的同學，他們會分享自己如何成功做了60個學分的學分轉移，使到自己只需要在科大兩年時間就可以畢業。但是，仍然有一些同學會發展自己的研究事業。他們會分享自己在科大的時候所做的研究成果，也跟在座的SY同學講一下自己畢業以後的計劃。可能是會到外國修讀碩士或者博士課程，也可能是加入某一些研究中心繼續自己的研究。今年的最後一個分享，就聽到有一位同學開辦了自己的公司，作STEM的教育產品。所以聽到這麼多不同同學的

Senior Year 招生（二）

為了更加鼓勵SY同學報名參加科大，今年我們作出了幾個新的安排。其中一個是新加入一個收取SY同學的課程。這幾年，我們因為見到社會上對數值分析或者數據科學的需求，新開辦了一些新的本科生課程和延伸主修給同學選擇。這些熱門課程很多時候都已經在JUPAS上面收到很多同學的申請，又或者是，當我們在推廣這些課程時，一早已經安排是給讀完第一年大學課程的同學選擇。所以這些熱門課程，一般都不會招收SY同學。今年，我們特別開放了一個叫做「科學數據分析」的本科生課程給SY同學報名。由於這個課程裏面有四個關於科學的選修Track，裏面就有一個關於生物學，一個關於環境科學，還有一個關於化學，所以就算在社區學院修讀一些比如生物科學或者生物科技的同學，也可以開闊一下自己將來就業的機會，多學一些關於數據的技巧。就算將來不是留在一個科學相關的行業，所學到的技巧也可以應用到其他的商業上面。另外一個新的安排更厲害。上面提到，我們理學院收生採用學院收生模式，同學們入了科大修讀完第一年基礎科學課程，可以按着自己的興趣和能力，挑選自己的主修。整個理學院來說，同學們可能有差不多20個主修選擇。可是在這些主修項目裏面其實只有不到一半會考慮SY同學。所以如果同學未能在JUPAS考入科大，其實已經損失了很多可以修讀的主修科目。為了更加吸引SY同學加入我們科大，我們今年在SY同學報名科大時，加入了我們在JUPAS所使用的SCIE-A和SCIE-B。所以，當這些SY同學進入科大時，所使用的身份其實和JUPAS進來的沒有太大分別。這就是說，當這些SY同學入了科大，就可以跟JUPAS一來的同學一樣，選取所有跟他們背景相關的主修科目。這就非常吸引，同學們就不會只看着我們在SY收生時的八到九個主修項目去來報名。第三個安排，就是說如果同學們希望申請的主修科目沒有取錄同學，我們會給同學另外一個機會，讓他們想一下會不會用上面提到的SCIE-A 或者SCIE-B 作為一個Alternative Choice。當然同學們如果不希望收到一個沒有主修項目的取錄通知，但係可以選擇不考慮。但是如果同學非常熱愛科大，有一覺得我們的環境適合自己的學習，這樣子同學就多了很多不同的選擇了。

Senior Year 招生（一）

上面提到，10月份其中一個最繁忙的工作，就是到不同的社區學院（Community College）進行招生講座。剛過去的幾個禮拜，不計同事所幫忙的，我自己已經到了八所不同的社區學院課程裏面進行招生講座，這就是說平均每星期，我都需要重複兩到三次講解一個PPT介紹我們科大理學院特別的地方，特別的課程和同學報名時所需要知道的地方。這篇文章介紹一下我們為什麼特別希望多收這些學生。首先講一下同學為什麼會在社區學院而不是在大學修讀大專課程。對大部份同學來說，當然是由於成績沒有達到入大學的要求。這其實有兩種原因，第一種就是由於並沒有滿足332233，入科大的最低要求。很可能是由於中文或者英文在HKDSE的時候只拿到level2，差一點才可以被大學直接收錄。所以同學就有機會先考入社區學院，修讀兩年，完成這個學位，再次申請入不同大學的課程。另外有一批同學，可能就是在中學考HKDSE的時候，成績真的不太好，沒有辦法被大學取錄。所以他們希望多花兩年時間，證明給各間大專院校看，他其實是有能力修讀一些大學的基礎課程。通過這兩年額外的訓練，希望大學可以給他們第二次機會得到一個大學學位。自己覺得這些同學都真的值得有第二次機會。對於中文或英文未能達到level3的，他們科學科的成績其實有可能是相對很好。這個情況對讀數學的同學更為明顯。以往我有幫忙數學系收錄SY同學是已經發現，有很多數學在M1/M2表現非常出色的同學，他的語文能力可能相對比較弱。（政治不正確地說，讀數學其實也不需要太多中英文，所以對數學系來說，是否滿足中英文Level3的要求其實不太重要。）甚至乎，我自己以往也有一些碩士研究生，他們在本科生是也是從這個途徑加入數學系。自己也會覺得他們的數學底子不錯，但就是在寫文章時表現得有點吃力。而針對上面第二批同學，作為一個做教育的人，我們其實真的不應該用同學HKDSE的成績去決定他們是否能進入大學。既然這些SY同學已經多花兩年時間，在社區學院取得優異的成績，我們真的需要更加給予他們的機會。所以這方面，我們其實都一直希望各個學系收取SY同學時，不要太過着重他們HKDSE時候的成績，而希望他們可以多看一下他們在社區學院時候的表現。至於整體感覺，我會覺得這些SY進入大學的同學，自己會覺得他們學習上真的更加認真，思想上更為成熟。我覺得，這就是為什麼我們希望可以到錄取正式背景同學的原因。那當然，對

死亡10月

可能你們會覺得，大學招生最忙碌的時期一般都是在暑假開始時，針對聯招同學招生的工作。所以覺得我在開了學以後，應該可以舒服一點。可是實際上，最辛苦的其實是9到10月份。最花時間的，可能還是教學工作。一個學年的第一個學期，我一般都負責指導應用數學Track四年級同學的Capstone Project。由於班裏面還有一些General Mathematics Track和Computer Science Track的同學，加起來全班差不多有60人。多得另外一位同事的幫忙，自己需要負責的項目就少了一半。除了這本科生的課程，這個學年還負責了另外兩個研究生課（！）。一個是之前提過的MSc FinTech課程的數學補底班。這門課程最辛苦的，不單是如何將基礎數學知識，教授給一些幾乎沒有數學背景的同學，更困難的，是上堂的時間都放在星期五晚上6:30到10:00。對一個早睡早起的人來說，一邊教一邊想瞓覺，下課時有時候都不知道自己上課講到哪裏。還有另外一個是自己第一次教的Advanced Numerical Methods。課程裏面教授一般解決微分方程和偏微分方程的數值方法。對於微分方程，我們會介紹由Forward Euler，Backward Euler，Trapezoidal到BDF，Runge-Kutta。由consistency，0-stability，A-stability到convergence。對於偏微分方程，我們會討論diffusion equation，linear advection equation到Poisson equation。再講finite difference method到finite element method。課程結束時，希望班上的研究生，都有基本的能力解決一些他們在研究上碰到的微分方程。由於參加這門研究生課的學生背景異常複雜，不要覺得他們都是數學系的研究生，科大內還是有很多不同研究都需要用到微分方程的方法。看見同學背景，有一些是環境科學的，有海洋科學的，有機械工程的，有土木工程的。有我們本科生同學，有PHD學生，也有一些我們MSc金融數學的同學。要照顧背景這麼不同的同學，就有點吃力。每一個新的數學概念，都要想像一下沒有太多數學背景的同學們是否有足夠的數學背景，去理解那個新的想法。每一步都不要跳躍得太快。但是同一時間，還要照顧數學系的學生，不要

計算數學入門系列 - 一些關於複數不等式的解

這個學期教授一門新的課程，其中有一個課題是討論一些微分方程數值解的絕對穩定性。裏面牽涉到一些關於複數（Complex Number）的不等式。在這篇文章裏面介紹一些解決這些不等式的數值方法。最簡單的例子，我們考慮 \( \left|1+z\right|\le1 \)。如果變數 z 是一個實數（Real Number），這條不等式的答案相對比較簡單，在一般中學的課程裏面都應該已經提及過。經過一些運算，我們就可以得到 \( -2\le z\le0 \)。如果 \( z \) 是複數，我們就需要對複數有多一點的認識。首先我們需要去理解一下絕對值在複數的定義。其中一個方法我們可以將絕對值理解成一個複數的量或者是長度，譬如說，\(\left|-i\right|=1\)。所以根據上面這個定義，我們就可以得到 \( \left|1+z\right|=\left|z-\left(-1\right)\right| \)就是在找一個複數 \(z \)和 -1 之間的距離。上面那條不等式，就是說要去找所有跟 -1 之間的距離就少於或等於1 的複數。在複數平面上面，我們就可以找到一個中心在-1而且半徑為1的圓盤（Disk）。另外一個方法，我們可以把一個複數首先寫成 \( z=a+ib\) 。這樣子，不等式就變成 \( \left|1+a+ib\right|=\sqrt{\left(1+a\right)^2+b^2}\le1\)，然後我們就可以找到一個中心在-1的圓盤的數學表示方式 \( \left(1+a\right)^2+b^2\le1\)。而當 \(b=0\)，我們就可以得到之前所提到的實數解 \( -2\le z\le0 \)。上面的這個例子其實是一個一般情況的其中一個特別解。我們假設 \[ f_n\left(z\right)=1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n!} \] 為一個n項的泰勒級數（Taylor’s Expansion）。然後我們就需要找出所有滿足\( \left|f_n\left(z\right)\right|\le1\)的複數。剛剛討論的情況，就只是當\(n\)等於1時的情況。如果 z 是一個實數，我們需要解決的相關不等式，就只是一個找根（Root Finding）的問題。如果n等於2，我們就可以用一元

YouTuber系列 – 嚇死我

回想911（四）

在補習班上，從朋友口中大約知道那天早上有飛機撞到世貿大樓。自己也發呆了。才回想起早上的那幾通電話，感受到電話另一段所傳來的恐懼，和希望得到一些令自己心情平復的安慰。最後在了不到半小時，已經離開課室回家。返回家中，兩個同屋都已經在了。打開家門，就看到電視畫面。電視新聞上已經不斷在播放着飛機撞到世貿大樓和雙子塔倒下的片段。自己回到房間，打開電腦，上網看一下香港的新聞網站，看到所有恐怖的畫面和事情的經過。馬上打電話給弟弟，希望了解一下他在紐約唐人街是否安全。世貿大樓就在唐人街附近，走路就可以到達。所以想像一下在紐約的情況還是應該非常混亂。電話好像一直打不通，唯有打電話回香港問一下有沒有弟弟的消息。跟父母說了一會，知道了弟弟安全沒有什麼問題，匆匆的就把電話結束了。在房間了解了事情的始末，也了解到家人朋友安全以後，曾回到客廳一兩個同房嘗試聊天一下。可是他們都沒有太大的心情，只是不斷在看着電視機上的畫面。新聞還是在播放着一些飛機撞向世貿時的片段，人們如何在街上恐慌地跑和尖叫着。看見黑煙不斷從大廈冒出，過了不久，整棟大廈倒塌。看見還是非常震撼。一些片段，看見在地圖上面飛機飛行軌道的片段，所有人都懷疑着這些飛機是否遭到騎劫。新聞上傳來很多不同的消息（當然後來也證實了一些是真確報道然後也有一些是不實的消息），說一些飛機不見了。美國上空進行飛行管制，所有飛機都必須要馬上降落。地圖上看見在飛行中的飛機越來越少。然後報道的消息越來越多，人們開始清楚事件的嚴重性，和了解到這並不是單一的意外，而是一些仔細策劃的襲擊，分別破壞紐約的一些指標建築，然後亦有人去騎劫飛機嘗試襲擊五角大樓度。記得那幾天，還是不斷在網上重播那些片段，看到不同角度的分析，和新聞報道對事件不同角度的闡述。事件當然有着重要的影響，事件以後美國在中東發動的戰爭就不多說。事件對自己的影響可能還是心理上多一點。剛到美國時，所感受到的安全和自由，好像一下子都不見了。看着雙子塔倒塌的畫面，同時回頭想着自己剛到美國四處遊玩時，在世貿大廈附近走動的畫面，所帶來的震撼還是相當巨大。每天看見新聞都在擔心是否會有另外一類型恐怖襲擊在美國本土出現。除了飛機撞擊大廈以外，是否會有其他種類的襲擊出現？像是1995年在日本奧姆真理教所發動的沙林毒氣襲擊，是否會在美國其他大城市出現？我猜想那是在美國生活的所有人，或多或少都有一點對日常生活是否安全

回想911（三）

那天早上，同房也是非常早離開回到自己的實驗室工作。那個時候，我還在床上睡覺。應該還不到6:00AM（客機撞到世貿大樓北座的時間是東岸8:46AM，就是西岸時間早上5:46。然後另外一班客機撞到世貿大樓南座的時間是東岸9:03AM，就是西岸時間6:03AM），房間的電話就響起來。由於那個時候根本沒有什麼朋友會打電話到我家，而且也有沒有親戚朋友有我家的電話，電話響起，一般都是找同屋的。所以那個早上的電話，下意識根本沒有把它接起來的意思。他一直響一直響，然後鈴聲中斷。「太好了」，然後我又繼續睡覺。過了不久，電話又再響起，小房間內的美國同屋還是沒有起來把電話接起，還在響，還在響，然後就中斷。我又睡着了。到了第三次，還是第四次，我終於起床，把電話接起來。電話另一邊傳來的是一把女聲，哭着，說要找我同房的Roommate。我跟他說他已經去上班了，沒有人在。他一邊哭一邊用他非常流利的英語不停的在說話。那個時候自己的破英語，根本沒有辦法能明白他用哭腔所說的事情。隱約聽到的什麼飛機，什麼撞着，什麼紐約，等等的事情。自己還不停在想着睡覺的事情，也沒有太留意他到底是如何的緊張和恐慌。由於沒有太清楚同房朋友說的事情，非常敷衍的跟他說，沒有問題，我會給你轉達給同房，想着如何盡快把這通電話結束，讓我好好再去睡一下。說了好一會，最後把這通電話結束。心想，終於可以再睡一會。然後過了一段時間，電話又再響起（東岸時間早上9:59，世貿大樓南座倒塌。早上10:28世貿大樓北座倒塌）。還是同一把女聲，聽起來比之前的聲音還要恐懼，又再說一次什麼飛機，什麼紐約。我還是把對話重新一遍，說會將消息傳達給同房知道。很快的把對話中斷。然後，自己的睡意也沒有了。不是由於終於了解事情的嚴重性，而是由於這通電話的煩擾，已經沒有睡覺的意願。看一下時間（應該已經八點），差不多需要回校上補習班。所以梳理一下自己，洗個澡就開始準備離開家上課。交通也正常，坐巴士回校，中間好像也沒有太多特別的情況。只是隱隱覺得，好像街上比較安靜，人是少了一些，但還是沒有覺得太多的分別。回到學校，就發覺好像在校園內人就更少了。也不覺得有太多人四處走動。回到課室，情況就更明顯了，全班可能只有10多位同學出現。與其說非常安靜，倒不如是說大部份同學都還沒有從震撼中醒過來。由於那個時候，我還未知道發生了什麼事情，坐在一邊跟其他同學聊天，問發生什麼事，才知道

回想911（二）

除了要考慮居住地方跟學校距離，最重要的還是租金分擔多少。由於有這些限制，找了一會，最終找了一個地方，跟另外兩個都是在UCLA修讀本科生的同學一起居住。房子也蠻大，兩房兩廳，一個小房間，和一個大的主人房。那個時候我不是自己住一個小房間，而是跟另外一個墨西哥裔的美國人住進了那個比較大的主人房。雖然沒有自己的房間，地方還是非常大。同房好像是修讀一些生物科技的本科課程，經常要在實驗室逗留非常長的時間。還記得一次，他把一篇研究論文給了我看，指着自己的名字，說自己也沒有太多的研究成份在裏面。只是幫忙一下實驗過程。也替他感到一點的高興。作為一個本科生，如果可以有一篇研究論文發表，對他將來的研究事業可能也有一點幫助。可能自己比較早睡，晚上睡覺時，大部份時間同房還是沒有回來。早上起來，他可能已經離開了房間。所以大部份時間我們都很少碰面。比較多機會，還是在星期六，他可能會留在家長一點時間，洗洗衣服，清潔一下地方。另外一個有自己房間的Roommate，就更加少碰見。大部份時間他只會待在自己的房間裏面，可能是自己一個在打遊戲機，也可能是和女朋友一起在房間裏面…。所以整體來說，雖然有兩個美國的同屋，可是回想起來，也沒有太多的交集。反而跟美國本地人比較多認識的機會，反而是在補習班裏面。還記得那一年數學系收了差不多50位博士生。聽起來好像是那麼多年以來收生最多的一次。所以在暑期班裏面都可以看見很多背景不同的同學。歐洲過來的好像已經有10多位，北京大學就已經有三位同學，加上香港三位同學，韓國，台灣，泰國也有一些。美國的，也有從東西兩岸過來，不同本科大學的學生。暑期班剛開始時，當然也是亞洲人比較多聚在一起一起食飯互相認識一下。可是到了課程中期，我們已經有好一些機會一起到洛杉磯不同地方，四處玩耍一下。時間來到2001年9月11日，是一個星期二。暑期補習班那個時候已經差不多到了尾聲，課程已經是相對比較鬆散，也不是所有同學都出席。可能是由於同學們都覺得，自己在家溫習比較輕鬆自在，有時特別回校上課也不是太有效率。老師看見這樣情況，也樂得把課程時間縮短。所以那天好像也是差不多最後幾天的課了。

回想911（一）

有好幾個題目從開始寫文章時已經有一點想法。可是由於題材比較沉重，一直沒有決心開把他們記錄出來。其中一個，是在美國時所遇到過的一些衝擊比較大的事情。其中一個就是九一一。趁着911的20周年，記錄一下事情發生時自己的感受。就在20年前，2001年的暑假，自己剛從科大碩士畢業，跑到美國繼續自己的博士學習。那個暑假七月份，先跑到紐約和三藩市探望一下親戚，亦都四處遊玩一下。差不多一個月的時間在東岸和西岸看看，再次感受一下美國的環境和文化。最特別地方，就是在美國的內陸機場登機非常方便。好像在飛機起飛前大約30分鐘抵達機場，還是可以輕鬆自在的登機。行李隨便經過X光機，然後跑到登機閘，上機，然後機門關閉，起飛。跟那個時候在亞洲乘座飛機完全不一樣，那時可能仍然需要預留兩小時抵達機場，進行安全檢查。然後坐在登機集前面坐着等到登機時間開始，無無聊聊。而且內陸機非常便宜，時間隨便挑選。所以那是對美國第一個感覺，就是一個非常安全，輕鬆和自由的地方。那麼大的國家，人們可以隨便四處探索和旅遊。那次遊玩的最後一站就是洛杉磯，還記得和弟弟在洛杉磯的各個旅遊景點拍照，飲飲食食，到親戚朋友家遊玩，過得還是非常輕鬆自在。隨着遊玩的時間差不多完結，到了八月上旬，正式開始在洛杉磯附近仔細探索一下那個環境，找一下以後租住的地地方，認識一下校園，了解一下那一個將會逗留起碼五年地方的環境。由於是博士班開始的第一年，數學系舉辦了一些暑期的「補習班」，希望所有新入學的同學都不會忘記了自己以往幾年前所學到的數學基礎。大約在八月中的時間，那些「補習班」正式開始。主要分上午課和下午課，分別討論一些線性代數和實數分析。課堂並沒有任何功課，也沒有考試的。因為整個課程的目的並不是真的測試同學對那些基本數學的認識（也可能是由於已經把你收了進來修讀博士班，對同學的數學基礎也有一點信任），而是希望同學在真正開課之前可以有多一點心理準備，認識一下你將來的同學，和一起和你研究的朋友，也看一下其他人數學底子如何。自己覺得，這些「補習班」，也希望一些亞洲過來的同學可以多認識一點本地的同學，在真正融入美國生活之前，當練習一下自己的英語，希望在開學以後，和幫忙負責一些本科生同學的討論班時，不會沒辦法跟他們溝通。而且，所有博士班的同學，也需要在第一學年裏面通過一個叫做Basic Exam的Qualifying Exam。所考的題目水平，可能只被

計算數學入門系列 - 距離函數（三）

一般來說，找出曲線的距離函數的表示方式並不簡單。舉個例來說我們如果想表示一個橢圓形，最簡單的隱性表示方式就是找 \(f\left(x,y\right)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\)。但是計算一下，就可以知道他並不是一個距離函數。甚至乎，\(f\left(x,y\right)=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}-1\)畫起來有點像，可是仍然不是我們想找的距離函數。 Figure 6. "ellipse1.jpg". An implicit representation of an ellipse. a = 0.25; b = 0.7; f=sqrt(x.^2/a^2+y.^2/b^2)-1; contour(x,y,g,30); axis equal; axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1]) hold on contour(x,y,g,[0 0],'k--') colormap('jet') print -djpeg ellipse1.jpg 在Figure 6 可以看到，我們要找的橢圓形附近，y方向的等高線相對比x方向距離比較遠。要找出橢圓形的距離函數，我們就必須要從每一個meshpoint找出在橢圓上距離最短的距離。 Figure 7. "ellipse2.jpg". The signed distance function representation of an ellipse. [m,n]=size(x); f = @(theta,x0,a,b) (x0(1)-a*cos(theta)).^2+(x0(2)-b*sin(theta)).^2; x0=zeros(1,2); for i=1:m for j=1:n x0(1)=x(i,j); x0(2)=y(i,j); theta0 = atan2(x0(2),x0(1)); theta_s = fminsearch(@(theta) f(theta,x0,a,b),theta0); sdist(i,j) = sign(sdist(i,j))*sqrt(f(theta_s,x0,a,b)); end

計算數學入門系列 - 距離函數（二）

而這個圓形的其中一個隱性表示方式，可以首先構造函數\(f(x,y)=x^2+y^2-1\)，然後找出這個函數等於零的地方。可以得到f(x,y)=0，就是說 \(x^2+y^2-1=0\)，所以 \(x^2+y^2=1\)，然後就找到了在圓形上面所有點所需要符合的數學方程式。 Figure4."circle4.jpg". An implicit representation of a unit circle. x=[-1.1:0.01:1.1]; [x,y]=meshgrid(x,x); f=x.^2+y.^2-1; contour(x,y,f,50); axis equal; axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1]) colormap('jet') hold on contour(x,y,f,[0 0],'k') print -djpeg circle4.jpg 雖然說是一個隱性的表示方式，但是MATLAB裏面指令contour 還是可以把函數f 等如0 的地方找出來。我們是需要在第四個輸入指出所需要繪畫的水平線就可以了。在這幅「等高線」contour的圖上面，我們可以看到這些代表着函數值的不同線相距並不相等。比較接近圓心的，函數比較平，代表着他的斜率相對比較少。越往外圍走，線與線之間的距離越密，代表着他的斜率相對比較大，函數的值越升越快。前面提到，上面這個函數f只是其中一個隱性的表示方式。如果我們希望函數的斜率在不同的地方不會有太大的改變，我們可以在設計這個函數的時候希望他的斜率可以被控制，比如說我們希望「斜率的值等於1」。這裏要再仔細定義「斜率」。在一般微積分裏面，我們知道斜率就是一個函數的導數。可是我們現在看見的函數並不只有一個變量，所以這裏所講的斜率，其實是函數f梯度（Gradient）的長度，數學上來說就是 \( |\ \nabla f| \)。用圓形作為例子，我們可以選取 \(g\left(x,y\right)=\sqrt{x^2+y^2}-1\)。同學們如果有修讀過多元微積分，可以計算一下這個函數g梯度的長度。 Figure 5. “circle5.jpg”. An implicit representation of a unit circle using the s

計算數學入門系列 - 距離函數（一）

在跟學生討論研究問題時，發現他們需要找出一條在平面上閉合曲線（Closed Curve）的隱性表示方式（Implicit Representation），去構做一條例子證明研究的方法有效。不像顯式表示（Explicit Representation），我們不想將曲線用兩個函數x(t)和y(t)寫成(x(t),y(t))表示出來。所謂隱性表示方式，我們希望直接構造一個函數f(x,y)而令到函數等於某一個先前固定值的地方就是我們所需要找的閉合曲線。舉一個很簡單的例子，如果我們需要找出一個半徑為一的圓形，他的顯式表示可以用極坐標（Polar Coordinates）寫成(x(theta),y(theta))=(cos(theta),sin(theta))。在MATLAB上面可以用下面的方法標示出來。 Figure1.“Circle1.jpg”. Explicit representation of a unit circle (default). Figure2."Circle2.jpg". Explicit representation of a unit circle (with the aspect ratio fixed). Figure3.“Circle3.jpg”. Explicit representation of a unit circle (with the aspect ratio and the axis fixed). theta=[0:2*pi/100:2*pi]; x=cos(theta); y=sin(theta); plot(x,y) print -djpeg circle1.jpg axis equal print -djpeg circle2.jpg axis([-1.1 1.1 -1.1 1.1]) print -djpeg circle3.jpg 留意一點，MATLAB在繪圖時圖表的比例並不是一比一，所以如果我們要繪畫一些比喻像圓形的圖案時，用MATLAB自己的繪圖比例，圖形看起來並不像一個圓形，反而像是橢圓形（就像上面Figure1的情況）。所以如果我們繪圖是希望看見一個更像是圓形的形狀，我們就必須要使用axis equal去把圖像的比例弄對才可以。Figure2看起來才是一個圓形。這幅圖唯

失敗（三）

上面所講的這套審查制度，不單在研究期刊的投稿上面出現。我們每年為了拿取研究經費而所寫的研究計劃書，也是使用了同一套審查制度。我們寫的General Research Fund(GRF)，就會被發送到世界不同地方的教授手上，他們會為我們的計劃書評分。高分的就會拿到一筆研究撥款。我們可以使用這批撥款支持碩士生或者博士生，招聘研究員，也可以參加學術交流。外國還可以使用這些研究經費支持教授自己的暑期工資。所以這些研究經費，對我們做學術研究來說也是有一定的重要性。由我們開始撰寫這些計劃書，在校內的截止日期前完成，進行校內審查，投到UGC，然後中間的審查過程，最終收到審查結果，中間會經過整整一年時間。儘管自己每年都會撰寫一份研究計劃書，只有大約兩年到三年才會拿到一次。當然有人歷年的成功率達到幾乎100%，而自己成功率可能大約四成。對上一次拿到研究經費已經是在2018年所寫的那一份（2020/01/01-2022/12/31）。面對這些失敗，我們除了批評這套審查制度以外，也只可以保持平常心，明年再想一下如何做出一個新的計劃書，再嘗試一下。如果馬上放棄，如何可以繼續做自己喜歡的研究呢。除了在研究方面，有時我們教學也會遇到不同的挫折。無論我們花多少時間去準備教材，花多少時間去上教學方法，同學們可能還是沒有辦法掌握課堂裏面的知識。尤其是無論中期考試試題如何簡單，和功課題目如何相似，還是有一些同學沒有辦法取得好成績。我都會不斷反問自己，到底是題目設計太刁鑽，還是自己的教學方法有問題，令到同學沒有辦法掌握如何應用課堂上面所教授的知識和技巧。當然應付這些失敗的最好方法，就是怪責同學沒有花時間學習，又或者是怪責同學數學的底子太差。但是，如果中期考試同學們成績太差，我還是會盡量跟他們一個一個聊一下天，看看他們是否在學習上有特別的問題，又或者是否我在課堂時講解得不夠清楚，希望在下半個學期同學們在課堂上會有所得着。在寫這篇文章的時候，正在舉行東京2020奧運，無論是在電視上轉播的那個比賽，都一定會有失敗者。不可能每一個參賽的運動員都是奧運金牌。既然是這樣，就不應該被失敗影響自己的生活。應該享受過程，而不應該被結果牽引着自己的情緒。一個人不可能從來沒有遇過失敗。重要的是我們要從失敗裏面學習和能夠調整自己的心態去面對失敗的結果。

失敗（二）

研究做出來，有一些好的結果，我們會把成果投稿到研究期刊。期刊會把我們這些研究結果分發到審稿人手上，希望他們給予期刊一些意見。期刊的主編，就會根據這些意見看看我們的稿件是否合適刊登在那一個期刊上面。儘管收回來的意見可能並不是太差，我們都有機會需要作出很大的改動。如果主編覺得要改動的地方實在太多，或者是研究結果並沒有得到那些審稿人的肯定，文章就會被退稿。由我們開始投稿，主編把文章分到審稿人手上，審稿人把意見發還給主編，主編把這些意見整合和作出決定，中間的過程可能會花上半年到一年不等的時間。所以萬一被退稿，我們可能就浪費了一整年的時間，文章可能需要再作修改重新頭到其他的期刊。這個事情並不罕見，聽過一些期刊，他們可能90%的投稿都會被拒絕。有一些可能主編簡單的看一下，就馬上被退稿，正式開始審稿的過程也被拒絕。自己有很多文章都會遇到同樣的情況，可能是由於審稿人對研究領域的不掌握，可能是由於自己的英文表達能力並不出眾，（當然也可能是自己的研究水平非常低！）有一些文章可能由第一次投稿，到最終發表出來，中間經過了兩至三年的時間，改動到面目全非。記得有一篇大約20頁紙文章，第一次收回來的幾份審稿意見，就長達10多頁紙，每一頁都充滿着對文章的批評和改動建議。好像也花了幾個月時間，一點一點的作出修正和改動。最終經過「兩個回合」的審稿過程，文章最後也被刊登。然後，自己也有部份文章最終還是沒有氣力把它修改完成，沒有投到任何期刊上邊。這些文章沒有被刊登，可能也算是自己的一點失敗經驗。這些文章可能對合作撰寫的學生來說有點可惜，始終他們也花了不少的時間把這些結果做出來。如果文章可以發表，他們也可以放到自己的履歷裏面，當成人生的一點里程碑。可是發表文章也不是我做研究的最終目的，這個時候我們就必須要返問自己的初心，為什麼我要做研究呢？為什麼我喜歡做這個事情呢？如果文章被刊登，被其他人引用，當然還是會有一丁點的高興，覺得自己為學術界做了一點貢獻。文章沒有被刊登，也不代表自己做的研究沒有價值。我們不應該被這些事情的旁枝和枝節影響了自己希望所達成的目標。

失敗（一）

今個學年的收生工作將近完結，科大出乎意料之外JUPAS收生比往年成績異常好（雖然距離放榜日子還有幾天，但是從報名人數上升了30%的數據估計，成績應該會比上年有大幅上升）。希望所有同學都可以入讀到自己熱愛的主修項目，可以享受一下大學盡力提供給同學的機會。當然有人歡喜有人愁，不一定所有同學都可以在這個社會取得自己所要求的。失敗的同學也可以盡量嘗試其他的事情。在這篇文章，希望分享一下在學術界上可能遇到的失敗事情，也分享一下自己在面對這些困境時所用的解決方法。希望這些對同學在人生經歷上會有所幫助。我們會遇見什麼失敗呢？很多人都會覺得教授們事業一帆風順，一定是人生勝利組，人工高福利好，完全不可能會有什麼失敗的事情。可以跟你說，絕對不可能。最簡單的一些失敗例子，就是在研究方面，有很多研究裏面的問題，我們都不可能馬上有方法解答。就算是世界上最聰明的人，也不可能可以解答所有的事情。還記得在中學時，數學老師也跟我們說，當我們年紀越來越大，所接觸的數學知識越來越多，就一定會遇到一些數學理論我們沒有能力馬上掌握。自己為例，在中學時候大部份的數學知識都幾乎可以「一聽就明」。只需要多花一點時間掌握如何把那些知識應用到一些功課或者考試問題上面就可以了。可是，到大學時候所學習到的Analysis，就是一套全新的數學語言，在以往完全沒有聽過。無論多花多少時間，好像也沒有那個感覺。這個在其他知識範疇也有差不多的理論。在商業界好像也有差不多的理論。當你的工作表現很好，公司就會對你有所獎勵，你可能會升職加薪。伴隨着升職，就是工作量和工作性質的增加。你不單需要有能力掌握升職錢的工作技巧和工作表現，你可能還需要負責更多的行政工作，或者是負責帶領下屬，作為團隊的領導人員。表現好的，你會繼續升職（自然人工可能有一丁點的增長），然後工作量亦相應提高。所謂能力越大責任越大，然後，終於來到了一個位置你沒有辦法，沒有時間，沒有能力再繼續負擔起更多責任的職位，最終就會停滯在那一個位置上面。當你在不同地方工作得越久，你就會看到很多高層都沒有坐在那個位置所需要的能力。這套想法，我就不再在這裏討論。我想帶出的，就是說所有人，無論你看見他們所在的位置，都會有一些他們在當時的能力範圍內沒有辦法解決的問題。我們在做的研究問題，我們不一定都有答案。告訴學生的研究方向，有一些時候我們也只是心裏大約有一個想法，有需要學生在解決

2020年研究評審工作（五）

「研究環境」上面提到的「研究成果」對每一個教授都有所影響，「研究影響」就只需要每個學系的數名教授提供材料。而這個「研究環境」就只需要學系撰寫一份報告，解釋在過去數年如何發展去支持學系內教授的研究。根據學系教授人數的多少，我們需要撰寫四至八頁的報告介紹自己如何支持研究人員和研究生，講解自己在過去六年裏面拿到的研究經費，發展了什麼研究組織和設備，有什麼新的研究合作項目，出色的研究項目等等。我們邀請的英國專家，就給了我們一些英國大學的研究環境報告供我們參考。其中牛津大學的那一份100%拿到4*成績的報告，就長達16頁。裏面仔細講解牛津大學過去做過什麼事情幫助自己在不同範疇上面做得更加出色。這些報告都公開在英國的網站上[ 4 ]，有興趣的朋友可以隨便參閱。（你可以見到，基本上我們的RAE2020，型色和表格的表達上都跟這些在英國的REF2014評核報告一模一樣。[ 5 ]）這份研究環境的報告，當然不可能由系主任自己一個完成。我們學系就成立了一個小組，每個人分別撰寫一部份，然後再由一個教授統籌整篇報告書。我自己所負責的部份就是關於我們學系的收入，這項目包括了教授在不同地方所申請到的研究經費總和，亦包括了一些從學系負責的理學碩士課程所賺取到而且用以支付研究相關的收入。雖然這一章節只佔整體的一小部份，長度亦都不足一頁紙，但是我找回文件一看，由統計數據，第一版本開始到最後修訂，一共就寫了兩個多月，所花的時間比起自己撰寫的研究計劃書更長。總結所以當大眾只看着一個表，根本不可能知道各間大專院校在背後所花的時間，人力和物力。最後，必須要留意的是，這個RAE2020只看重研究成果。大學在教育方面如何投入資源，做得如何出色，完全不是這個評審的範圍。要知道研究做得好，不代表在教育方面也投放着相對應的資源。因此在這個RAE2020裏面做得出色的大學，對學生的學習來說也不一定是好。這真的要看同學自己希望在大學裏面所得到的來衡量。有一些大學已工作前景為吸引力，如果同學在大學裏面希望得到的是一份「穩定的職業」，就可以考慮那一間大學。如果同學希望學習人文思想，就不應該太考慮研究型大學。可是如果同學希望在大學裏面接觸到一些世界尖端的研究項目，這個評審結果，就可以當作一些參考。

2020年研究評審工作（四）

「研究影響」「研究影響」是一個新的項目。在上一次RAE2014的時候，並沒有這個審核要求。根據學系的教授人數，我們都必須要準備一些例子解釋我們的研究如何影響着社會。如果學系的人數少於15人，樂系就只需要準備一個影響的例子。16個到30個教授，就必須準備兩個例子。我們科大數學系，是香港裏面最大的數學系，有40一位教授，所以就需要準備3個例子講解一下我們的研究如何影響着社會的不同地方。這些不同地方都必須要在學術以外，可能是在經濟，在社會，在文化，在公共政策，在健康，在環境等等的範疇。我們都必須要解釋某一位或者某一些教授的研究如何直接影響着大眾的生活。所以，我們就不可以說某某教授的研究非常出色拿了一個世界知名的獎項，帶領着整個研究在世界的發展。我們也不可以說某某教授破解了一條千年難題，為着人類長遠的福祉帶來什麼什麼的影響。我們也不可以說某某教授是過去幾年Most Cited Researcher，在某某範圍內的研究被大量研究人員所參考。而根據這些例子的影響力，UGC這個委員會就會給予不同的評級。4*代表着這個研究就影響範圍和重要性而言出眾的影響，其他分數包括3*（相當重要的影響），2*（有一定影響）和1*（有限的影響）。準備這些例子更困難的，是我們必須要有足夠的實質證明。我們不可以只講一個好的故事，吹噓着一些宏願，或猜想某些項目在數年後將會有一個很大的影響力。舉個例來說，如果我們想指出這個研究如何如何影響着政府的施政，我們必須要拿到一些證據，指出這些政策的制定都是由於我們的研究而直接或間接造成的。這些證據，可能是政府的文件裏面直接引用，又或者是我們可以拿到政府的書面證據。如果我們說，我們所設計的某些計算方法，在一些通訊軟件裏面使用到，因而我們的影響力達到數以億計的人士使用，我們就可能需要從這些軟件製造商得到一個書面證明，指出他們真的使用了我們的計算方法。這樣你就可以想像到，不同學系在找這些例子的時候，所遇到的困難可能比起做研究本身更大。作為香港UGC主要的參考對象，英國其實每幾年都會做一個相類似的研究評審。他們稱作Research Excellence Framework（簡稱REF）。對上一次是REF2014，而他們下一次就是今年2021舉行。由於香港RAE的改變很多時候都參照了上一次英國進行的REF，科大亦都邀請了很多在英國參與了REF的專家和教授過來講解他們這

2020年研究評審工作（三）

除了這些內部初選的安排，各間大學又如何可以將自己在「研究成果」的這個項目上面做得更好呢？除了是說在世界上不斷招聘研究成果更好的研究人員以外，更直接的方法就是在本地其他大學進行「挖角」。從一間大學「跳槽」讀另外一間大學當然不是什麼奇怪的事情，但是如果一個學系在短時間內大部份人都跑掉，情況就有點特殊了。還記得在上一次RAE2014的時候，有一所大學的數學系，研究成果非常出眾。好像是全港第一（當然要看你如何解讀這些RAE的數據）。可是在最近幾年，很多的教授，都一下子「跳槽」跑到其他大學。香港大學，中文大學和科技大學都「分到了」一些研究非常出色的教授。而他們在過去幾年的研究，自然就也帶到去新的學校。UGC看到這個情況，都希望盡量阻止這個「不理性」（是否真的不理性，就要看你對這個事情的角度了），就制定了一個「死線制度」。如果學校希望把這無論是本地，還是從外國新招過來的教授算到自己的RAE，就必須趕快在這個死線之前完成招聘過程。還有一個所有大學都受到影響的，就是到底什麼人需要被評核。這個就會影響到各個大學在招聘時所給予的職級。根據RAE的定義，所有從Professor到Assistant Lecturer的各級人員都符合RAE的資格。可是如果你仔細看一下這個叫做CDCF（UGC Common Data Collection Format）的職級表，可以看到的都是比較是英色的職級。比如說Reader這個職級，科大就沒有這樣子的一位教授。所以如何從現有大學的職位連繫到在這個CDCF的職級表，又是一個各個大學需要仔細研究的課題。在CDCF裏面有一個Lecturer的職位，可是這個英國Lecturer跟美國的Lecturer並不是同一件事。對我們大學來說這個職位根本不需要做研究，他們是全職教書的。如果我們認可了這個職位已把它放到RAE的資格裏面，我們就必須幫他們找出三個研究成果去評核。這不就是自己找麻煩嗎？所以在科大裏面的Lecturer其實是一個叫做Instructor的職級，而不需要放到RAE裏面去了。又例如大學裏面有一些叫做Research Assistant Professor（RAP）。他們並不是Tenure-Track Faculty。一般的合約，可能是三年，然後一般都不會再被續約。他們應該更像是Post-Doc Researcher，大學用一個更吸引的名字去吸引一些新

2020年研究評審工作（二）

RAE評核的不同部份整個RAE評核分成三個部份，分別為「研究成果」（Outputs），「研究影響」（Impact）和「研究環境」（Environment）。每個項目佔整體成績的權重都會有所不同。「研究成果」佔整體成績的70%，其餘兩個項目各佔15%。各間大學的每個學系，都會看自己的專注範疇，將這些材料送審到13個評審小組內其中一個。而根據不同的評審小組的範疇，他們會在細分成一共41個評審單位。以數學為例，我們就在自然科學的評審小組裏面，而評審單位，就是跟統計學放在一起的「數學及統計學」。政府指出，這個評審的目的並不是將不同學校，不同學院或者不同學系作出直接比較。這樣的做法，只是根據各方的相似性，容易找出專家去評審同一系列的研究結果。可是對各間大學的Public Affair Office（就是PR部門）或者公眾來說，最終評核結果的表達，看起來就是不同大學的一個直接比較。我們可以清楚見到某些大學做出來的都是一些世界領先的研究成果，而另外一些學校的某一個學系，就可能是大學的Weakiest Link。而這些做得好的學系，也不一定受到大學內部的讚賞。做得差的學系，就可以肯定會受到大學高層的「特別照顧」。「研究成果」先介紹一下「研究成果」的這個項目。這個項目對大部份教授的要求最直接。我們每人都必須要挑選自己在2013年10月到2019年9月裏面的4個研究成果。而每個研究成果，就會根據他的水平被評核為最好的4*（代表着在原創性，重要性和嚴謹性方面達世界領先水平），3*（國際卓越水平），2*（國際水平），1*（有限水平）和不予評級。我記得以往在一些科大理學院簡介會上，都會講一個「爛gag」，笑說「你們DSE同學的成績是1到5，然後是5*和5**。我們教授的成績就所有都有*。」當然不大好笑。還有的是，我們自己教授並不會知道自己研究成果的成績。有的也只是整個學系所有研究成果的整體評核。要記得，這些研究水平的評核，並不是根據研究者自己的感受。不是自己說這個研究有多好，評核的結果就會有多好。我們找來的英國專家也跟我們說，你們可以想像一下，世界其他學者可能會一次過收到幾百份研究成果，他們根本不可能每一篇都仔細由頭到尾看一遍和仔細想一次。更大機會，他們可能只會看看文章的引用次數（Citation Number）和文章發表在那一個期刊，他的Impact Factor是多少，最多最多也

文章發表速度調整

由第一篇文章 20200718 發表至今，不經不覺已經差不多一年了。由剛開始一星期寫三篇文章，然後再改到兩篇，簡單的估算一下，已經寫了差不多10萬字。中間也嘗試過發表不同的系列文章，有分享一些自己以往經歷的，有簡介一些學術界事情的，有做一些關於STEM 教育的，科普教育的，也開始了一個計算數學入門的系列。要每星期發兩篇文章，其實也真的不容易。每星期可能需要有一整個早上，花一點時間做資料蒐集，然後才能把那一星期份量文章寫出來。如果那一篇文章是比較長，需要比較充足資料的（好像是現在介紹的RAE2020），所花的時間就更長了。雖然說現在是暑假，可是仍然有很多行政工作。而且由於下學期需要教授一門自己以往沒有教過的研究生課程，需要花一點時間編寫教材，所以可以說現在比正常上課時間更加繁忙。文章的發表的速度，將會再作調整。產量將會由現在每星期兩篇文章，再減至一篇，逢星期一發表。所以剛剛過去星期一才開始介紹RAE2020 的文章將會不受影響。

2020年研究評審工作（一）

最近大學教育資助委員會（教資會UGC）公布了「2020年研究評審工作」(Research Assessment Exercise 2020，簡稱RAE2020)的結果，指出香港各大院校的研究水平在世界上面非常出眾[ 1 , 2 , 3 ]。然後，各間大學都按着這個結果，找出一個角度解說自己的研究水平如何如何名列前茅，在香港第一。在這篇超長文章希望介紹一下這個每六年一次的RAE，希望觀眾明白這個評核的過程和應該如何理解這些結果。對同學們來說，也應該知道這個評審工作如何可以幫助自己挑選一間自己喜歡的大學。評審的目的首先講一下這個評審的目的。對政府來說，這個研究評審有好幾個目的。第一，政府可以根據這個評審的結果去分配研究經費。研究做得相對比較好的，以後就有更大機會拿取到更大的資源。這些金錢跟我們大學教授每年所寫的研究計劃書有很大的不同。對我們來說，比較重要的是Research Grants Council（簡稱RGC）的General Research Fund（簡稱GRF）或者是給一些比較新入職同事的Early Career Scheme（簡稱ECS）。因為這些研究經費是會直接發給教授，我們可以根據自己的需要找研究合作者，邀請他們來香港訪問，又或者找研究生，幫忙一起做研究。而這個RAE，可以算是大學自己的整體研究表現的評分。政府就會根據這個研究表現「分發獎金」。有了這個「獎金制度」，就會加強了大學之間互相競爭（對政府來說，這個競爭自然是正面而且是良性）。令到大家都更加專注做出色的研究，為香港的科研發展增添動力。而且，政府亦都可以從這個評核裏面增加或者減少不同因素的比例去影響整體研究方向的發展。舉個例來說，比起上一次在2014年的RAE，今年就新加入了一個對社會影響（Impact）的一個項目。而且，在不同渠道停建，這個項目的權重在以後將會越來越高。所以在可見將來，各間大學都要盡力想辦法增加自己對現實社會不同的影響力，以加強在這個項目上面的評分。這個毋庸置疑，政府作為「消費者」，每年既然支付了研究經費，亦都有權看一下他「買」回來的研究成果在世界上面的認受性如何。而市民作為納稅人，亦都很合理地有權了解一下各間大學在研究上面如何努力在世界上面達到一級水平。看看我是否有合理「回報」。有更好的「回報」，我在這間大學就應該「投資」更多。成果相對比較少的，我以後亦會減少投放在這

如何找文章去認識研究課題（三）

上面所講的方法是將時間往前推，順藤摸瓜的找出以往相關的研究文章。有另外一個方法，同學們可能比較少用到，就是找出，到底有什麼其他人cite這份研究論文。這個是將時間往後推的方法。如果你手上已經有第一份文章，你想知道在那一個時間點以後，有什麼人朝着這個方向繼續發展，你就可以問一問Google。我不是說那一個普通的Google，而是關於學術界的那一個scholar.google.com。在這個網站內，你不但有可能找到第一篇文章的不同版本（包括研究期刊的主要版本，又或者是作者自己的另外一個版本），而且你還可以看到一些比較有用的數據，包括被引用次數。只要你按下引用次數的連結，你就可以看到所有cite到這篇研究論文的其他文章。然後你一看，發現他找出了一千幾百篇文章，然後就沒有然後了。你會覺得根本沒有可能把這麼多的文章找出路都看一遍，馬上放棄。「不可能都把所有的看一遍」是完全正確，「馬上放棄」就有點太消極了。Google所找出來的這些文章，裏面有一些可能沒有太大關係，有一些可能完全不太重要，有一些可能是為發文章而發文章根本不需要看。所以同學們就需要有所挑選。首先可以看一下這篇文章在哪裏發表，看一下這個雜誌是否在研究範疇裏面比較好的（我不是說出版社是否有名，不同出版社都會有一些好的或者一些不太好的雜誌）。一些比較有名氣的雜誌，審視文章的過程可能比較仔細，要求也可能比較多，這樣雜誌內文章也會比較嚴謹，文章內的結果也可能會比較有影響力。同學們就可以發一點時間在看一下這些文章。另外一個挑選文章的方法，是可以看一下到底這篇文章的引用次數，看一下他的impactfactor。這個數值越大，就代表着相對比較多人認識這篇文章。當然，多人cite不代表一定好，有些時候，我們也需要知道其他人為何cite到這一篇文章。可能是這篇文章做出了一個驚天動地的結果，發明了一個非常厲害的方法，證明了一條百年難題。但是也可能是很多人都指出這篇文章有一些錯誤的地方，學術界需要有一些討論。而且，沒有人理會也不一定不值一看。可能是他的方法比較艱深，可能是研究方向非常狹窄，也可能是表達得不夠清楚，沒有太多人了解他實質的影響力。所以同學們使用這個方法的時候就需要小心，不然很可能會「走寶」。

版權問題（二）

例如，在科大的課堂上，我們需要準備一些閱讀材料給同學，這份材料是從一些書本上找出。如果這些材料是書本內的某一個篇章，只佔書籍的一小部份，我覺得直接複印給班上的同學，這個是合理的。可是如果我把整本書籍複印30份，分給班上的同學，這就是不合理。自己見過有一些教授，他們會直接使用出版社提供的ppt在課堂上使用，這個ppt上面的內容都會跟課本內一模一樣。當然在教學上，我會覺得這是非常沒有效率完全不應該使用的方法，但是在版權的問題這個討論上，我覺得我們不需要再向出版社拿到版權，直接使用是容許的。又例如（可惜是一個從來沒有出現過的例子），有一個外邊的機構邀請我教授一門課程，我因而得到額外的薪金。我覺得在這樣的情況，我就必須要重新編寫一些教材，不應該在網上下載一些例子在課堂上教授。記得很多年前，自己就曾經碰過一個例子。香港電台文教組，希望我們編寫一些關於數學是什麼的文章。自己在編寫一個應用數學學什麼的文章時，剛開始時也沒有想那麼仔細，直接在網上找來一些參考圖片和資料。香港電台那個時候也提到關於版權問題，希望我們可以自己繪製或者提供一些不需要版權的材料給他們放在網站內。他們也提到如果真的找不到，他們自己也可以有人員幫忙繪製圖片。可以見到，一般在學校以外的公司組織對版權問題都是相對比較小心。另外一個例子，就是在和UCLA一齊合辦的一個本科生暑期研習計劃的時候，我們需要和一些本地公司討論是否可以提供一些研究課題。UCLA那個時候就提出，我們是否需要和公司在法律上討論研究結果的版權問題。他們提到，在美國舉辦這些活動時，公司對研究成果的版權非常着緊，更會更UCLA簽合約，詳細討論版權誰屬的問題。我們在開始舉辦這個活動時，對這個問題一頭霧水。跟學校不同部門研究，最終結論，是我們根本對這個版權誰屬的問題完全不着緊。所以我們在跟本地公司開始討論時，都會直接跟他們說，你們公司可以隨便使用那些研究成果，我們並不在意。唯一要討論的，是我們希望公司都可以給予我們一些可以使用的數據庫，對大部份研究計劃，這些數據庫都不可避免。有一些公司可能由於內部保安要求，對這些數據都非常小心。所以我們也會跟參加研究計劃的同學說，這些數據你們完成這個計劃後都不可以自己保留。甚至乎以後使用這些研究成果在學術會議或者是學術期刊上發表，都必須得到那些參與的公司的同意。可是在最後幾年，都曾聽聞同學私自將研究成果發表在一些學術會

如何找文章去認識研究課題（二）

上面「一般來說」所講的，就是說有一些情況這些文章可能其實沒有太大關係。可能是，一些作者自己cite自己的文章，加大一下自己的impactfactor（當然自己也不可避免，盡力「刷」一下自己的數字）。有些時候，你可以看到作者運用差不多的技巧都很多不同的課題上，這樣同學也可以學習如何靈活運用不同的數學工具都看起來好像很不一樣的研究領域。可是這些self-citation就不一定可以幫助同學了解方法本身。另外，一些剛「入行」的同學可能沒有想像過的原因，是當文章在期刊做review的時候，有一些reviewer可能會要求作者加入一些參考文章。這些參考文章也不一定對文章主題有很大的關聯。作者為求滿足這些reviewer的要求，也可能在文章最終版本加入那些reference。然後下一步，同學們就可以做一下recursion，就是看一下這些被cite的參考文章內Introduction所給的參考文章。一步一步往前走，這樣順藤摸瓜的，同學們就可以慢慢把整個研究方向的背景摸出來。這個過程中間，你可能會找到一篇Survey或者ReviewPaper。這就比較方便，這些比較仔細的文章一般都會把整個研究領域做一個深入淺出的介紹，同學們就可以省下很多時間，在裏面可以找到更多的參考文章，仔細研究一下整個研究方向所希望解決的問題和現有的方法。那可能會從裏面找出一本或者數本相關研究領域的書籍嗎？這個問題其實也經常碰到。有一些剛開始做研究的學生，都會問我可否給一些研究相關的書籍，讓他們可以花一點時間把背景資料弄清楚。可是其實對於這個問題的答案，一般都是不太可能。其中一個原因，是這些研究課題都可能是比較近期，比較熱門，並沒有太多人有心思去把整個研究領域編寫一本書。而且，所謂研究，跟一般大學課程很可能還是有一點距離，就算出版了這樣的一本書，讀者群將會非常少，根本沒有出版社會願意投資在這本書上面。除非書籍的內容已經到了普及程度，否則根本不可能會有一本書跟同學的研究領域百分百吻合。而可是，如果那個研究領域已經到達了「普及程度」，這樣的研究不是沒有得做（就是說，剩下來的問題都非常複雜）就是沒有問題做（就是說，已經在沒有任何有趣的問題可以解決）。

版權問題（一）

某天跟同事聊天，談到他自己在YouTube上面的頻道。他自己有一個教育的題材，希望學校的CEI（Center for Education Innovation）可以幫忙拍攝的事宜，包括一些剪接上的幫忙和拍攝時的支援。可是由於他這個最後剪接出來的片段並不是用在課堂上，而是希望放到自己的YouTube頻道，學校最終決定並不會支持這個視頻的拍攝。學校指出，由於這個視頻都是由學校支援，版權上是屬於學校的。在得到學校授權以前，同事並不可以私自放到自己的頻道上面。同事亦指出，學校跟他說，我們在課堂上的一切視頻，教材，功課，考試，一切東西的版權仍是歸於學校。其實這些聽起來好像不太陌生。以前好像也看過一些新聞，補習天王因為「跳槽」到另外的補習社，由於仍然從用以往的教材，沒有重新編寫，後來被舊僱主控告侵權。我覺得大部份情況，我們對這些關於版權的問題都不太小心。可能是由於在學術界，大部份時間，我們都好像被容許在不同地方下載不同資料，只要我們指出材料的出處，一般來說都不會有任何問題。譬如說，在學術演講裏面，當我們在介紹研究問題背景的時候，我們都會在網上找一些會畫得非常漂亮的圖片，所謂「a picture is worth a thousand words」，找到一張出色的圖片，我們就可以省下好幾分鐘的時間慢慢介紹我們所做的問題。只要指出這張圖片下載的地方，一般來說這樣的做法都非常見到。這篇文章裏邊，我只會分享學術界一般的做法，這個是否合法，我在這裏不會討論。自己也不是這個方面的專家，如果讀者知道答案，可以跟我說。回想一下，好像也沒有任何地方教過我們如何小心版權這些問題。大部份情況，都是我們自己的「專業判斷」。一般的做法，當我們使用這些不是自己做出來的材料時，都會把reference清楚顯示。這個目的是希望聽眾或者讀者明白這個並不是自己的創作或者工作，credit交還給原創者。比較重要的問題，是我們使用這些材料時，都不會先作者的同意。一般我們在寫文章，給其他人一些研究背景是，我們也不會，也不可能，先得到每一篇文章的作者首肯，才把他的研究文章放到自己的Introduction裏面。可能是由於這個寫文章的習慣，我們在編寫演講材料時，一般都不會停下來想一想，是否需要得到材料的作者同意。這個是否真的需要，我也不知道。雖然這樣說，當自己在使用這些材料時，都會非常小心。都會盡量把材料的出處放

如何找文章去認識研究課題（一）

對於剛剛開始做研究的同學來說，其中一個比較頭痛的問題，是如何找到適合的背景資料，學習那個研究範疇的整體進展。在這篇文章裏面，會介紹幾個不同的方法幫助同學找出一些相關的文章，以增加同學自己對整個研究方向的基本認識。如果研究問題，是從指導老師所提出的，一般來說，老師都會有一些資料給同學看一看。同學們可以首先看一下這些文章。如果整篇都看得懂，那就沒有太大問題。同學們大概已經可以開始着手自己真正的研究課題，根據老師指示的方向，把問題解決。比較大的問題，也比較常見和比較合理的，是同學完全不知道如何入手，看見文章的Abstract，已經耍手擰頭。其實這完全正常，如果同學們剛開始研究工作，很多時候對任何一個領域都不一定有充足的掌握，這個時候，同學們可以首先看一下這些文章結果部份，看一下他們其實在做什麼問題（真的，要了解一篇文章解決什麼課題，要看的一般都不是文章的Introduction和中間比較Technical的部份）。有了大約的感覺，就可以返回看一下文章的第一部份Introduction。這個Introduction部份多數都會先從問題的背景入手，介紹一下為什麼作者希望解決這個問題，這個問題的重要性是什麼，其他人如何解決這個問題，這些方法的優點和缺點分別是什麼，然後也可能會講一下作者現在所提出的解決方法有什麼特別，跟其他方法如何比較，等等。當然，要真的完全了解作者在這一篇文章裏邊所提供的方法，就不可避免地需要花一點時間在文章中間比較Technical的部份了。但是作為「新手」，這些比較花時間的部份有可能跟同學實質研究的課題不一定有太大關係。如果花了太多時間在這部份，可能會把整個研究進度拖慢很多。我也不是說同學們完全不需要了解這些方法，知道其他人如何解決這個問題，對研究員也非常重要。其中一個原因，是我們根本不知道將來在處理其他問題的時候，這些方法不知道會否派上用場。如果可以將這些其他人的方法，用到另外一個問題上，也是一個可行的研究方向。另外一個原因，是我們也可以看一下這些方法會否有其他人看不到的優點或者缺點，這些也是一些研究的可行性。這個文章的入門部份，一般都會cite一些參考文章給其他人做一個reference。一般來說，通常這些文章都可能是某些研究領域做得比較好的，比較重要的，比較有參考性的。同學們就可以從這些文章入手，了解一下整個研究領域的發展如何，應該如何入手

計算數學入門系列 - 疊代方法（四）

對於疊代本身，其實亦有着一些很有趣的數學問題。其中一個是關於混沌（Chaos）的理論。有一些數學系統，本身的定義就會根據疊代的法則進行演變。可以假設x(n)代表着第n次疊代後的數值，而每一次進行疊代，我們只需要根據函數f來定義。數學上來說，我們定義x(n+1)=f(x(n))，然後希望看一下根據這個疊代所做出來的數列是否有一些特別的特性。其中一個我們可能想找的是不動點（Fixed Point），就是說想找一個數值x不受疊代過程所改變。跟上面找出函數f的根不同，我們希望找到的是另外一個函數g(x)=x-f(x)的根。如果函數f(x)只是一個線性函數，討論本身相對簡單，也比較沒有趣味。而一個最簡單的非線性函數是定義\(f(x)=\mu x(1-x)\)，而函數內參數\(\mu\)一定要為一個正數。這個疊代過程也叫做單峰映射（Logistic Map）[ 3 ]。比如說，我們選擇參數\(\mu\)等於1，我們用x0=1/2開始進行疊代，x1=1/2*1/2=1/4，然後x2=1/4*3/4=3/16，再得到x3=3/16*13/16=39/256，等等。我們可以看到做出來數列的數值越來越接近零。仔細的看一下這個問題，我們會發現，如果函數f存在着一個不動點，這個不動點的數值將會符合x=x(1-x)這條方程式。而這條方程式的唯一解就是x=0。複雜一點的例子，我們可以將參數作出一點改變，比如說我們選擇參數\(\mu\)等於1.5，我們用x0=0.5開始進行疊代，我們會得到x1=1.5*0.5*0.5=0.375，然後x2=1.5*0.375*0.625=0.3515625，再得到x3=0.34194946891，等等。我們會發現疊代所做出來的數列似乎並不是趨向零。如果函數f存在着一個不動點，這個不動點的數值將會符合x=1.5x(1-x)這條方程式。而這條方程式存在着兩個解，其中一個是x=0，而令一個是上面數列似乎會趨向的x=1/3。同學如果挑選一個細於3的參數，然後使用不同的初始條件進行疊代可以發現所產生的數列將會趨向\( (\mu-1)/\mu \)這個數值。同學可以使用普通的計算機進行一些簡單的運算看看情況如何。可是，如果參數大於3，情況就有點特殊。我們可以發現，絕大部份初始條件都會產生一些不收斂的數列（除非你挑選初始條件x=0）。如果\(3<\mu<1+

網上考試（二）

我對於兩個考試（Midterm和Final）進行的方式也有所改變。由於都是在網上進行，我提議使用Open Book的方式。就是說，同學可以使用所有筆記，無論是自己所做的，還是在網上搜尋到關於課程的資料，所有東西都可以使用。這個方式是我這麼多年教學第一次進行的。以往曾經也嘗試提議同學使用這個考試模式，可是一般同學都覺得，如果這樣子，考試題目一定更加困難，然後拒絕。這個當然，如果容許你找所有的參考資料來考試，我們所寫的考試題目都一定不會跟你所搜尋到的一樣。可是，我自己覺得這種考試模式的好處，就是同學們根本不需要背誦任何東西。只要你對課堂內容有所掌握，同學們根本不需要背誦任何方程式或者符號，也不需擔心由於記錯了一個符號而把整條題目做錯。這個Zoom上面的Open Book考試，和一般的Open Book還是有點不一樣。我不單容許同學找尋不同的筆記，同學們甚至可以上網搜尋他們問題的答案。這個決定的時候，我還是有點思前想後，在想這個安排是否合適。到底同學在這個搜尋過程裏面，是否可以顯示自己對課程內容的掌握？所以第一次使用這個Open Book考試的模式，我還是有點緊張。首先是，擔心自己設計考試問題時，做得太過簡單。同學有機會一下子就在網上找到一條一模一樣的例子，把答案抄下來。同學們如果有修讀過我的課，都會知道我會把以往所有的考試題目公開給同學。有一些甚至會變成今年的功課題目。所以每次考試，我都會需要重新設計一些考題，而不會重複使用以往的題目。所以這擔心，對我來說也不是一個什麼大難題。但是，在設計考試題目的時候，還是花了一點心思。在把問題寫下來以後，還是嘗試在網上搜尋一下，是否可以找到一模一樣的問題。然後，又希望問題本身也不可以離開功課題目太遠，擔心他們一下子掌握不到題目所要求的，馬上覺得，這份考題太過艱深，完全不知道在問什麼。有一些本地同學，可能由於中學時所面對的考試模式，大多只需他們對某些特定題型的掌握，所以當同學見到一些新的問題時，可能會覺得無從入手，不知道如何開始。甚至答案有機會只需要兩行的運算，他們都不知如何回答。在設計考試題目是，我還是需要小心一點。如果題目太過天馬行空，無論答案是如何簡單，我也有點擔心自己變成killer。還好最後出來的成績，還是比較可以的。總分20分，平均也有12分左右。自己覺得也比較滿意。有一些同學當然做得非常好，大部份題目都沒有什麼問

計算數學入門系列 - 疊代方法（三）

對於找出函數f的根的問題，其中一個比較常用的方法就是牛頓法（Newton’s Method ）[ 2 ]，x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f’(x(n))。如果初始數值相對比較接近確切解時，我們可以證明牛頓法收斂單根（Simple Root）的速度為2。雖然速度非常快，但是使用這個方法是我們有兩點需要注意。第一個使用牛頓法的困難，是我們需要使用一個在確切解附近的初始數值。一般來說，我們會根據實質應用，對答案有一個想法。可能是先對實質情況的一個非常初步的簡化，用這個簡化了問題的答案作為牛頓法的初始值。可是這個初始值是否夠接近這個確切解，我們就一般都不太確定了。一般的做法，就是對牛頓法有信心，「相信牛頓」就可以了（!）。更重要的問題，是方法需要用到函數的導數（Derivative）。比起二分法，這裏對函數的要求比較多，我們不單單只希望函數是連續函數，我們更希望函數有一定的正則性（Regularity）。在一般情況，我們可以清楚知道函數的導數是否存在，在功課內更加毋庸置疑。同學如果可以直接把函數寫出來，很容易的就可以知道函數是否一個可微函數（Differentiable Function）。將日常生活的應用，我們有些時候甚至乎不一定知道函數是否一個連續函數，要研究他是否一個可微函數就更加困難。就算我們知道他是一個可微函數，計算起來還是可能很複雜以致有些時候我們可能不太想把他的導數計算出來。所以，有些時候我們就只會使用導數的近似值，這就得到了割線法（Secant Method）。假設我們現在想解決的問題，並不是一個普通函數f(x)=0的問題，而是一個線性代數問題。就是說f(x)=Ax-b，這裏的x和b就不是一個純量（Scalar）而是一個向量（Vector），而A就是一個矩陣。這個問題就沒有辦法使用二分法去計算因為答案x是在一個高維空間。如果我們使用上面的牛頓法，函數的導數就會變成他的雅可比矩陣(Jacobian)，就是矩陣A本身。而牛頓法，就可以寫成 \[ x(n+1)=x(n)-J^{-1}*f(x(n))=x(n)-A^{-1}(Ax(n)-b)=A^{-1}b。\] 這代表什麼呢，這代表牛頓法找出來的就是線性代數方程的確實解。而中間的過程，我們就必須要計算矩陣A的逆矩陣（Inverse Matrix）。在上面文章提到，如果矩陣A非常大，這個方法就不切實際了

網上考試（一）

終於又完成了一年的教學工作。比較特別的是，在這個學期終於第一次安排了網上的期終考試。回想一下，這個課程，是自己兩年裏面第一次需要進行期終考試的科目。在安排上，自己也需要多花一點心思。以往一般科目，我們都會參考同學的功課，Midterm和期終考試，去決定同學的成績。在最近幾個學期，大部份所任教的科目，卻反而是一些Project Course。例如上個學期所負責的Capstone Project，一共大約60位本科生同學各自分組負責一些不同的數學研習項目，在學期裏面，需要交一份大約10頁紙的報告和做一個大約20分鐘的演說。另外一些學期，有一門研究生課程，同學們在學期內只需要做三個的數學項目，不需要再考試。這些課程，我會根據Project的質量去決定同學的成績。所以在這兩年裏面，都不需要擔心因應Zoom教學而需要改變太多的考試安排。由於我們沒有辦法安排場地，令同學可以面對面的進行考試，不同科目都因應着自己的需求，運用不同的方法去了解同學們對課程內容的認識去給予同學的分數。其實學校已經給了我們一些建議，比如說可以的話也把考試的模式改為不同的研習項目。令到同學有多一點時間去表達自己對課程的掌握，也可以減輕我們對網上考試的依賴。但是這些安排，也不是對所有本科生課程都適用。例如大學課程內第一年的微積分，我們沒有辦法要求同學去寫一些關於微積分的文章，介紹自己對微積分的認識。這些課程，我們都還是需要倚賴一些考試，去測試同學對內容的掌握。這些考試比較特別的，不單是考驗同學對課程內容的了解，也考驗同學自己本身的誠信。如果真的還是需要進行以往的考試模式，有些同事會要求同學將鏡頭對着自己和電腦螢幕，令我們知道他們沒有作弊，是否在跟朋友在網上討論。有一些甚至要求同學有兩個視像鏡頭，一個對着自己正前方，令我們知道誰在考試，另外一個鏡頭向着同學考試的環境，令我們知道附近並沒有其他人。然後也可能有一些規例，禁止同學佩戴耳筒，令我們知道他們沒有聆聽着其他朋友的講解。當然亦有一些規例，禁止同學使用網上留言板，將考試題目上載，跟網上不同人討論。聽來的消息，當然道高一尺魔高一丈，同學們作弊的技術也有機會層出不窮。我們老師亦都要因應情況，不斷將我們考試模式和方法改變，去防止同學們作弊的情況出現。我知道有一些同事，他們會將考試改為Take-Home Exam。就是說，同學可以在家有數天的時間慢慢做那些試題

計算數學入門系列 - 疊代方法（二）

聽起來相當簡單，剩下來的問題，就是如何設計中間的運算過程。最重要的條件，就是當n越大，我們希望xn越接近確切解y。不同的設計，就會得到不同的方法。其中一個運用到上面IVT特性的方法，就是同學們可能一早認識的二分法（Bisection Method）。假設我們知道函數f的根在a和b之間而且（a<b），我們可以取x1=(a+b)/2就是兩點的中間值作為一個近似值然後我們再去判別函數f的根到底是在a到x1之間還是在x1到b之間。這個判斷方式，就可以再運用IVT。如果f(a)*f(x1)<0，我們就可以知道在a跟x1之間就會有一個函數f的根，所以我們就可以取x2=(a+x1)/2。反之如果f(x1)*f(b)<0，我們就可以取x2=(x1+b)/2。如此類推，我們就可以得到一數列的xn。由於每一次進行二分法的計算，線段的長度就會短了一半，當n越來越大我們就知道，我們就知道xn會收斂（Convergence）到一個數值。有沒有什麼情況這個二分法會失效的呢？譬如說，當x大於或者等於零，函數f輸出數值就是等於1；當x少於零，函數輸出數值就是等於-1。這個函數f並沒有根，可是上面的二分法還是會得出一個收斂到0的數列。心水清的同學，可能就會馬上指出這個函數f並不是一個連續函數，所以上面二分法的分析並不適用在這個函數例子裏面。完全正確。所以雖然二分法的使用非常簡單，同學們在使用之前還是需要對函數f進行一定的認識，確保他起碼是一個連續函數。另外的一個例子我們可以考慮函數f(x)=cos(2N*x)。你可以假設N為一個很大的正整數。這個例子有點奇怪，儘管程式的不同執行方式，都可以得到一個收斂的數列，但是他們可能將會得到函數f不同的解。程式內先考慮二分後左手邊線段的情況，還是先考慮右手邊線段的情況，都會得到不同的答案。剛開始的線段，也會令到我們得到不同的解。這個例子顯示，我們把這個二分法在運用到日常生活時，不但需要知道函數f的一些特性，我們還希望剛開始的線段不要太長，令到計算線段太大，希望在線段內只有唯一一個解。二分法的好處，是我們要求函數f的特性相對比較簡單，我們只希望他是一個連續函數。可是，在實質運用上，二分法所產生的數列收斂起來有點太慢。如果要運算f需要很多計算量，這個方法就不太實際。這裏就引入疊代方法的第二個重點。除了上面關於修練性的要求，我們還希望這個產生的數

Cora日常- 食食食

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