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關於如何教導微積分（一）

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在之前一篇文章，我分享過一些自己以往教授微積分的經驗，裏面提到一些比較奇怪的經歷，講解某部份同學可能準備不足，在修讀微積分時候所遇到的困境。其實這些困難不單在科大出現。在世界其他地方，也有人發現這個準備不足和對他們能力上有所落差的發現。今年三月份Scientific American有人投稿，指出大學的微積分課程必須要改革，而這個改革必須要從數學系以外着手。雖然這篇文章題目也非常不留情面，「To Keep Students in STEM fields, Let’s Weed Out the Weed-Out Math  Classes」，但是從自己的觀察，真的有很多同學對科學卻步是由於微積分的關係。 好幾年前，我們理學院收生並沒有分開A隊和B隊，所有同學進入理學院一年以後可以從所有的主修科目裏面挑選自己有興趣的來修讀。這麼多年的經驗，我們發現越來越多同學會挑選一些「看起來」對數學沒有太多要求的科目。他們會覺得自己數學（就是大學第一年的微積分）成績沒有很好，所以就不應該修讀數學或者物理課程，以去選修一些像化學和生物的學科。可是如果同學仔細看一下這些學系需要修讀的課程，都會發現某些科目都需要大量數學的技巧，而微積分很可能就不可或缺。甚至乎我們有一門海洋科學的科目，其中一個海洋學的Track裏面所需要使用的數學，跟數學系基礎課程其實差不多。由於需要設計數學模型解釋海洋流動，裏面運用到的數學可能是多元微積分，甚至乎一些微分方程或者偏微分方程。 就算同學們對第一年微積分課程沒有太大反感，到二年級修讀多元微積分時候，也可能會發現越來越迷失，根本不知道自己為什麼需要學習這些定理和證明。這些對工程學院的同學更甚，他們可能會覺得將來根本不需要使用這些微積分的知識。將來做工程項目時，最多也只需要在電腦程式內輸入一些參數，按下輸入，電腦程式自動會把需要的答案計算出來。這個「黑盒」裏面所發生的事情，根本不需要知道。某程度上這些想法也是對的。自己也經常舉一個例，就算你不認識微積分，這會對你日常生活有什麼影響呢？我們到超級市場買菜，需要使用微積分嗎？我們看電視，上網，一切生活上的衣食住行，看起來都跟微積分毫無關連。這完全正確，如果我們只滿足在日常生活*使用*一切人類智慧的結晶（例如上網技術，電腦，攝影機圖像處理，甚至乎你所居住的住所結構應該如何等等），微積分可以說是毫無用處。可是如果你想*了
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教授微積分（二）

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當然那個基礎微積分的經驗有點太過特殊，那一年做過以後，就沒有機會再教導這些太基礎的科目（希望不是我教得太差！）。回來科大以後，剛開始教的還是一門「加速版」的微積分科目（那時的課程編號為三個數字的MATH021，然後更改為MATH1018）。由於那個時候大學還是三年制，同學們第一年已經需要修讀多元微積分，不要說初等微積分，現今四年制內第一年的兩門微積分科目在那一個年代可能在高中課程裏面已經教授，不需要在大學裏面花一年時間學習。當然那個年代，還是有可能有一些並沒有修讀這些微積分的同學在理學院或者工學院，所以我們還是會有一門「加速版」的微積分科目作為一個保底，希望同學從冇到有，用一個學期的時間把這些微積分入門技巧通通掌握。如果用現在的課程去比較，就可能是將現在四年制同學的兩門微積分加起來用一個學期時間加速的把它完成。情況有點像現在的MATH1020，同學們如果可以做學分轉移，在入學的時間證明自己到達MATH1020的水平，就可以馬上選修多元微積分科目。儘管有這樣子的選擇，聽過的信息，不同學院還是不鼓勵同學做這樣子的學分轉移，希望同學起碼可以從大學一年級第二們微積分課開始重新學一次。可能是由於他們見到同學們「跳級」入到多元微積分科目時，數學的掌握其實沒有太好。所以儘管同學在中學時期已經曾經學過微積分，還是希望他們在入大學的初期重新把大學數學學一次，讓他們將來在其他數學科目掌握得更好。 由於剛開始在科大任教，學系還是會安排一個有教導過這門課的教授一起負責這門科目。由於他已經有多年的教學經驗，我們還是會運用他的課程大綱，上堂筆記和考試卷。課程大綱跟上面所講的一樣，大致上包含所有現在兩個學期微積分的內容。自己看過教材，也寫得非常好，由淺入深，甚至乎可以畫是環環相扣。看見前面篇章的一個例子，想來想去也不知道為什麼要講這些，原來這個例子的結果將會運用到後面的篇章。從迷朦一片到豁然開朗，才發覺教材是寫得如何精彩。自己也明白，要同學們在一個學期裏面掌握這麼多的東西基本上沒有太大可能，所以在教材的剪裁上面必須要花盡心思，不可以浪費太多時間在一些旁支和技巧上面，所有東西必須速戰速決。 由於學生人數眾多（整個課程可能有數百名學生），我們不可能每星期都批改作業。那個年代有沒有電腦軟件幫忙，沒有那一個被批評到體無完膚的webwork，所以我們都不可能規定同學每星期都繳交作業。所以，我們設立了一個自
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教授微積分（一）

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  話說最近網上傳出，科大數學的某個課程中期考的平均分為F，引來大家熱烈討論。可能是批評修讀這門課程的同學水平不足，又或者指責數學系編寫考題太過艱辛，過分挑戰同學的數學能力等等。從自己聽來的消息，所討論的科目為一年級同學所收的第二們微積分課（MATH1014），內容大致上為學習一些積分的技巧，和序列數列的收斂性等等。自己並沒有教授過這門科目，又沒有看過考試題目和教授的筆記和課堂，沒有辦法評論。所以這篇文章的目的並不是嘗試解釋這件事情，也沒有嘗試為學系和教授給出一個說法，更加沒有需要我去解決這個問題。只是希望根據自己的經驗講一下以往教授微積分科目時候所碰到的一些故事。 回想以往的教學經驗，針對着本科生一些入門基礎課程，也做過助教（Teaching Assistant），回來科大以後亦都曾經試過負責教授一個「加速版」的微積分科目。還在科大修讀碩士時，曾經有一個學期幫忙批改數學系多元微積分課程的作業。到了美國修讀博士時，也曾做過一門初等微積分科目（Precalculus）的助教，每星期都要跟同學上輔導班，幫忙一下他們的功課等等。這門初等微積分的程度可能是從函數開始，到limit為止，並不會真正接觸到微積分。同學們的背景包羅萬有，大部份對數學都是敬而遠之，普通加減乘除還是需要運用計算機。要知道他們所運用的計算機並不是香港公開考試規定的那些，而是Taxes Instruments。這部「計算機」嚴格來說已經差不多是一部裝了MATLAB的電腦，它有繪圖功能，可以解決線性代數問題，甚至乎微分方程問題。你們可能想，他們有着這樣子的一部「電腦」來考試，課程對他們來說根本沒有任何問題。可是，實際上，他們根本不知道如何運用這一把「屠龍刀」。應該運用計算機那一個功能解決那一個問題，他們根本完全沒有任何概念。 記得不知道哪裏聽來的一個「笑話」， ----------------------------- 學生說：「計算機運算上出了點錯誤，可能有點問題。」 「為什麼這樣說呢？」助教疑惑着。心想，這麼厲害！竟然找到上市公司儀器的一個錯漏。 「你看一下」，螢幕上顯示着1，「我已經按下這個平方根的符號，但是計算機並沒有任何反應。」他不停按不停按，可是顯示着的數字並沒有任何改變。 ----------------------------- 聽到這個故事時還是有點驚訝，猜想自己並沒有嘲笑的意味，反而是不
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教授都可能是免費勞工？（二）

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其中有兩位是以往的同事或者是以往曾經待在過數學系的教授。這些安排可能有幾個目的，第一可能是表達學系對這些舊同事的謝意，多謝他們這麼多年來對學系的貢獻。也有可能是幫忙他們在學校內留一點關係，如果將來他們對我們學系還有興趣，還有一個理由再次回來服務。而如果他們研究出色，我們還是可以「沾一下金糠」，跟外面說他們是我們的教授，跟我們有一點點的關係。 除了上面提到兩位舊同事以外，其餘的自己就並不認識。但是如果看一下他們的研究方向，就會發現他們都跟金融數學或者金融技術有關。所以自己猜想，他們可能都有幫忙數學系的金融數學學士或者是碩士課程。我們舉辦一些碩士課程，其中一個主要目的是希望幫忙培育業界有多一點學術知識的新血。可是由於大學的教授，不一定有任何「實戰經驗」，我們也不一定跟行業內的龍頭有任何實質上的關聯。所以我們就可能希望通過這些Adjunct Professor的稱呼邀請一些行內有份量的人幫忙一下這個碩士課程的運作。他們可能提供一些行內專業意見，舉辦講座，提供實習機會。有專業背景的，也有可能會幫忙負責幾節課，教授一下行內專門的知識。所以這些都是一般教授沒有辦法提供給我們學生的。 自己以往也曾在數學系的Search and Appointment Committee待過，經過我手的，印象中也有討論過好幾個這樣的例子。薪酬方面如何呢？正如上面UCLA的例子，這些職位都是*沒有*固定薪酬的。真的沒有薪酬？這樣子說吧，如果你對學系沒有實質的貢獻，其實學系就真的不需要給你任何薪酬。以上面兩名舊同事為例，他們在學系內沒有擔任任何實質的教學，研究或者行政工作的責任，所以學系就真的一分錢也不需要給他們。 很多時候，我們找來校外的一些舊生朋友過來做分享，講一下演講，都會給他們一些車馬費，或者是顧問費。我覺得學校對這些費用根本不會太在乎。所以你可能會說，如果學系招聘這些人的目的只是分享一些行業內的專業意見，講一講講座，或者安排一下實習機會，為什麼需要增加這個職位，而不只是給給他們一些顧問費呢？原因有幾個，可能是由於講者不希望給別人覺得這是副業，又或者是不希望公司知道自己在正職以外賺取其他工資，我們經常會聽到這些講者都會婉拒這些金錢上的回報。那如果我們希望找來其他人幫忙學系的運作，而這些人也不希望（又或者不容許）拿取報酬，那怎麼辦才好呢？所以這些Adjunct Professor位置的安排，就可
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