計算數學入門系列 - 矩陣的儲存（一）

矩陣（Matrix）在應用數學裏面有着不可或缺的重要性。我們曾經用過矩陣的方式把計算區域標示出來（可以參考〈科普系列 - 數學、社會隔離與生命遊戲〉一文）。在數據科學裏面，我們曾經討論過如何把高維數據內的低維資訊找出來（可以參考〈科普系列 - 數學與數獨〉一文）。在〈科普系列 - 數學與圖像修復〉裏面，我們也曾經把圖像修復的問題，模擬成為找出鄰近地區色彩平均值的問題。在這篇文章裏面，我們希望討論一些關於矩陣的問題。

最基本要解決的問題，是如何在程式內把這個矩陣標示出來。如果矩陣相對非常細小，我們可以把矩陣內的所有元素一個一個標示出來，我們可以直接用MATLAB 的設定

>> A = [1 2; 3 4];

這個矩陣A是一個2×2的矩陣，第一行是1和2的兩個數值，另外一行就只有3和4兩個數值。這個方法最為簡單，基本上也不會花太多時間就把矩陣定義出來。可是有些時候我們的矩陣非常大，這個把數值一個一個輸入的方法就非常浪費時間，也很容易出錯。可是如果需要解決的問題，矩陣並沒有任何的特性，而且也是一個全矩陣 （Full Matrix，就是說在矩陣內絕大部份的元素都不是0），我們也沒有其他辦法。 幸運的是，大部份這些非常巨大的矩陣，很多時候都會有一些特別的特徵，而且也更可能是一個稀疏矩陣（Sparse Matrix，就是說矩陣裏大部份的元素都是0）。所以我們在設定這些矩陣時會有一些很方便的方法。

如果我們想設定一個10×10的三對角矩陣（Tridiagonal Matrix），對角線上的所有數值都是-2，上對角線和下對角線的所有數值都是1，而剩下來的所有數值都是0，我們可以用MATLAB 內置函數diag

>> B = -2*diag(ones(10,1)) + diag(ones(9,1),1) + diag(ones(9,1),-1);

MATLAB 的內置函數diag 可以把一個向量放到矩陣的對角線上面。ones(10,1) 設定了一個10×1的向量，diag(ones(10,1)) 就做出了一個矩陣，而矩陣的對角線所有元素都是1。內置函數diag 還有一個功能，如果函數有兩個input，他就會把第一個輸入的向量放到第二個輸入的相對應對角線上。舉例來說，diag(ones(9,1),1) 就會把一個9×1的向量放到一個矩陣的上對角線。如果這個矩陣，上對角線有九個元素，整個矩陣就是一個10×10的矩陣。而上邊程式的最後一項就是把一個9×1的向量放到矩陣的下對角線上。而這個矩陣內所有未被定義的數字都將會是等於0。上面這個簡單的例子，由於矩陣自身的特徵，我們可以運用上程式的內置函數簡單地幫我們把矩陣定義出來。

這個方法當然可以很簡單的地拓展到一個n×n 的矩陣，我們只要首先把n 定義出來，把上面的程式作出一點小改變就可以了

>> n=1000;

>> C = -2*diag(ones(n,1)) + diag(ones(n-1,1),1) + diag(ones(n-1,1),-1);