科普系列 - 數學與圖像修復（一）

第二個想介紹的數學應用是關於圖像處理。這個應用跟上面所分享的其實都有所相關，兩個應用都是跟圖像有關。上面那一個，是希望用數學幫助繪製動畫。而這裏所分享的應用，是希望用數學的方式去將一幅質素或是像素不太好的圖像，加以改良。可以應用的地方非常廣泛。

所謂圖像處理，就是希望從一張畫多張的數碼照片，猜想出一張更完美的圖像。當中可以包含好幾個不一樣的問題。其中一個是圖像修復的應用。就是說，一張圖片裏面很可能有一些地方的顏色由於下載時問題產生了誤差，所以需要將不見了的顏色猜想出來。關於這個問題的重要性，有一個真實生活上邊的例子。話說2012年的時候，西班牙一座19世紀的教堂，上面有一張耶穌的壁畫，因為時間的關係顏料有一點剝落。當時有一名非常虔誠的教徒希望可以盡快將圖像修復，所以就自己在畫作上面添了一點顏色，而且也「加了一點創意」。結果當然非常之不理想，耶穌着也變得非常滑稽。這件事當然也成了世界新聞[1]。當然訪問裏面寫明信徒亦都顯得非常無辜，但是這就可以知道圖像修復是一門需要專業技術的工作。由於創意十分了得，「偉大的網民」亦將這個技術應用在不同藝術作品上面。其中有名的，是將同樣的圖像修復技術應用在「蒙羅麗莎的微笑」上。甚至乎，在同一年的10月，亦有生產商將這幅滑稽的耶穌將實體化，作為萬聖節的面具使用[2]。

另外一個好像處理的問題，是叫圖像分割。目的就是希望從一幅圖將裏面找出物件，然後將它從背景分割出來。這在實質應用上有很多不同的用途。其中一個是從MRI三圍影像裏面把腦內白物質更灰物質分開。這樣就可以猜想病人腦內細胞的成份，而希望從而判斷有關老疾病的嚴重程度。然後自己的研究也曾經做過一個應用，希望從CT Scan裏面將牙齒及下顎骨分開，從而幫助牙醫判斷鑲嵌假牙時候電鑽需要鑽探的角度及深度。同樣的技術，也可以應用到閉路電視監視的系統，去判斷影像內是否有人走動。

數字圖像

要了解如何使用數學去幫助圖像處理，第一步的必須要了解圖像在電腦裏面是如何被儲存的。所謂數字圖像（Digital Image），是用了數據的方法去表示一幅影像。中間有兩個過程。第一個是叫做空間離散（Spatial Discretization），就是說我們實在沒有辦法可以將一個區域內所有不同地方的顏色儲存起來，所以一幅圖像就必定會有一個空間離散的過程。我們會將區域分成一小一小塊，就是你們所知道的像素點（Pixel）。每一個像素點其實不是一個點，而是一個很小的正方形方塊，而這個方塊內所有地方的顏色都會第一樣。所以有時如果一張照片的像素很差，當你一面將圖像放大，你就會看見照片將會有一方隔一方格的產生。所以很多時候我們都希望相機像素比較高，那樣子當我們在將照片剪裁時，就可以維持一個可以接受的畫質。

第二個去表示圖像的過程，是叫做強度量化（Intensity Quantization），就是說每一個像素點只會儲存從有限個強度得來的數字。以灰色圖像為例，一般我們只會從256個不同強度裏面挑選一個數字代表一個像素點上面的顏色。以0作為全黑，以255代表全白。而中間的所有灰色的深淺就將會用令到255中間的一個整數去表示。由於一共有256個不同的強度，以二進制代表，就只需要用1 byte = 8 bits的記憶體去代表一個像素點的顏色。在MATLAB內，這種表示方法叫做uint8。u代表着unsigned，就是說不需要用+/-號表示。int就是integer，整數。8就是說只需要用8 bits。這樣做的目的主要有兩個原因，第一個，是由於在電腦裏面我們根本不能用有限的記憶體代表不可數（Uncountably Many）那麼多的無限個數目字。第二個，是由於人類對分辨顏色的能力是十分差的。既然肉眼不能將顏色分辨出來，其實也不需要用多餘的記憶體將不同光線顏色加以分辨。所以一幅圖像，經過數字化後，得出來的其實是一個數學上的矩陣。如果我們看見的是一幅灰色的圖像，這個矩陣內每一個元素就是一個數字。而如果我們得到的是一幅彩色的圖像，每一個元素就是一個在三維空間裏面的向量，代表着紅藍綠三原色的數值。

[1] https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/europe/spain/9492805/19th-century-church-fresco-destroyed-by-rogue-DIY-pensioner.html

[2] https://gawker.com/5948671/throw-away-your-halloween-costume-youve-already-lost-to-beast-jesus-fresco-guy